线性代数综合习题

1第一部分选择题1.设行列式aaaa11122122=m，aaaa13112321=n，则行列式aaaaaa111213212223等于（D）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（B）A.13000120001B.10001200013C.13000100012D.120001300013.设矩阵A=312101214，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（B）A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（D）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.|A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（C）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（D）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（C）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A）A.秩(A)nB.秩(A)=n-12C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（B）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A）A.k≤3B.k3C.k=3D.k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（B）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（D）A.A与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）A.2334B.3426C.100023035D.111120102第二部分非选择题15.111356925366.16.设A=111111，B=112234.则A+2B=337137.17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=4.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=-10.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为n-r.21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=-5.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为-2.23.设矩阵A=01061332108，已知α=212是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为1.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为zzzz12223242.3三、计算题25.设A=120340121，B=223410.求（1）ABT；（2）|4A|.解：（1）ABT=120340121223410=861810310.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=1203401212.所以|4A|=64·（-2）=-12826.试计算行列式3112513420111533.解：311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.27.设矩阵A=423110123，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=2231101211431531641.所以B=(A-2E)-1A=1431531644231101234=3862962129.28.给定向量组α1=2103，α2=1324，α3=3021，α4=0149.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。.解213013010224341905321301011201311210350112008800141410350112001100001002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）29.设矩阵A=12102242662102333334.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。解对矩阵A施行初等行变换A1210200062032820963212102032830006200021712102032830003100000=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）530.设矩阵A=022234243的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.经正交标准化，得η1=255550//，η2=2515451553///.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122，经单位化得η3=132323///.所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////.对角矩阵D=100010008.（也可取T=25521515130532355451523////////.）31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=xxxxxxxxx12223212132323444，并写出所用的满秩线性变换解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设yxxxyxxyx11232233322，即xyyxyyxy112223332，因其系数矩阵C=120011001可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形y12-2y22-5y32.。四、证明题32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.633.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2线性无关。证由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2=b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0.所以η0，η1，η2线性无关。