线性代数行列式的展开计算

231312123.nnnxaaaaxaaaaxaDaaax计算12,3,4irrDi解2312131000000nnxaaaaxxaaxxaaxxa1,,iicxain32123110010101001nniaaxaxaxaxaxaxa12,,iccin32231010000100001ininiaaaaxaxaxaxaxa1iiiaxaxa决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是,如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解第三节行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式333231232221131211aaaaaaaaa333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa启示:三阶行列式)1(可按第一行“展开”.对)1(式适当重新组合,易见该三阶行列式也可按第一列“展开”.)1(余子式和代数余子式Aij叫做元素aij的代数余子式.定义在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij;Aij=(–1)i+jMij,记在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nijaij1nija.Mij，记ijjiijMA1叫做元素的代数余子式．ija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD11131422313334414344aaaMaaaaaa2222221AM22.M,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDniijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD.14442412422211412113333aaaaaaaaaa例如定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1二、行列式按行（列）展开法则111213212223313233aaaDaaaaaa212122222323aAaAaA这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.111213212223313233aaaDaaaaaa证明111213212223313233000000aaaaaaaaa212223111213111213111213313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa212122222323aAaAaA例1计算行列式277010353D解按第二行展开，得22331172D27.例2试按第三列展开计算行列式解将D按第三列展开,则有,4343333323231313AaAaAaAaD其中,313a,123a,133a,043aD.5021011321014321解,4343333323231313AaAaAaAaD其中,313a,123a,133a,043a43A,1013A,1952101320131)1(23A,6352101342132)1(01320142134)1(所以)63(1193D)10(018)1(.2433A,1852120142133)1(例33351110243152113D03550100131111115312cc34cc0551111115)1(330550261155526)1(315028.4012rr0532004140013202527102135D例4计算行列式解0532004140013202527102135D231100720666627210.1080124220231254142355320414013202135215213rr122rr例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111().nnnijjinnnnnaaaDaaaaaaaa)1(行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1证明对n作归纳法.当n=2时，,111221aaaa结论成立.设对于n–1阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看n阶的情形.在n阶范德蒙德行列式中，第n行减去第n–1行的a1倍，第n–1行减去第n–2行的a1倍.也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1倍，有21123113221121231232122113120001111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad22322223223211312111)())((nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaad按第1列展开，并把列的公因子(ai–a1)提出，得上式右端行列式是n–1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(ai–aj)因子的乘积，其中2≤ji≤n.故nijjinaaaaaaaad211312)()())((.)(1nijjiaa证毕例6计算222111222333nnnnDnnn解21212111111222!13331nnnnDnnnn!21311nn324221nnn!1!2!2!1!nnn推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,ij,或a1iA1j+a2iA2j+···+aniAnj=0,ij.有关于代数余子式的重要性质：；当当jijiDDAaijnkkjki,0,,δ1或；当当jijiDDAaijnkjkik,0,,δ1其中.,0,,1δjijiij当当例21222323642142037AAA212223236AAA236236037022取第一行元素思考3040222207005322第四行各元素余子式之和为分析41424344MMMM以表示中元素的余子式，则有ijaijMD304022220700111141424344AAAA34072221113401411100234281128281.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.1,,2.0,;nkikjkDijaAij当当1,,0,;nikjkkDijaAij当当三、小结1.直接用定义公式计算;2.利用性质化为三角行列式;3.利用展开式定理降阶.到现在为止,我们已能计算任意阶的行列式.行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能.行列式有以下三种计算方法:行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.行列式的计算在这三种方法中,方法1主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算;方法3主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.当然在计算一个下面看几个例子..111222333222111nnnnnnnnnD下面举几个n阶行列式计算的例子.例设证明递推关系式Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2(n2).1222333222111nnnnnnnD按Dn的第n列展开,得证明,1223332221111nnnnn展开,即为上式中n的代数余子式是与Dn同类型的n-1阶行列式Dn-1,而对n-1的余子式按第n-1行n-1Dn-2,至此我们得到Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2.证毕关系式在计算数学中常被引用.Dn是常见的n阶三对角行列式,所证的递推.2112112112112nD例计算n阶行列式=D1+(n-1)=n+1.这是一个三对角行列式,在这里i=2,i=i=1(i=1,2,···,n),由果可得Dn=2Dn-1-Dn-2.适当移项可得关于Dn的递推关系式Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3=···=D2-D1.因D2=4-1=3,D1=2,D2-D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···的结解上例上例设nnnnnnnnnD111222333222111证明递推关系式Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2(n2).第四节Cramer法则一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、Cramer法则三、小结nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组,,,,21不全为零若常数项nbbb则称此方程组为非齐次线性方程组;,,,,21全为零若常数项nbbb此时称方程组为齐次线性方程组.一、齐次与非齐次线性方程组的概念二、Cramer法则定理1如果线性方程组)1(22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112110其中Di是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为1,DDx11,,DDx22,DDxnn.11111111111nnn,jnn,jnn,j,jjaabaaaabaaD例1用Cramer法则解方程组.0674,522,963