线性代数课件第2章矩阵

第2章矩阵2第2章矩阵高斯消元法矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的转置、对称矩阵可逆矩阵的逆矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵分块矩阵32.1高斯消元法高斯消元法消元法的基本思想是通过变形把方程组化成容易求解的同解方程。在解未知量较多的方程组时，需要使消元步骤规范而又简便。例1：解线性方程组12412341234123422622242344353202xxxxxxxxxxxxxxx42.1高斯消元法高斯消元法解：1）将第1个方程乘1/22）将第1个方程乘-2,-3,-5，并分别加到第2,3,4个方程上124123412341234312242344353202xxxxxxxxxxxxxxx124234234234312202450253xxxxxxxxxxxx52.1高斯消元法高斯消元法3）将第2个方程乘-2，并分别加到第3,4个方程上将第3个方程乘-1，第4个方程乘-1/3，并交换第3,4个方程的位置124234434312200393xxxxxxxxx12423434431220310xxxxxxxxx62.1高斯消元法高斯消元法此方程组和原方程组是同解的，我们把形如这样的方程称为阶梯线性方程组，因此易得12341210xxxx12423434431220310xxxxxxxxx72.1高斯消元法高斯消元法任意一个线性方程组都可以用高斯消元法将其化为容易求解的、同解的阶梯形线性方程组。所谓消元，就是将元的系数化为0。为了使消元过程书写简便，我们可以把线性方程组11112211211222211122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb82.1高斯消元法高斯消元法对应的系数按顺序排成一张矩形数表其中aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)表示第i个方程第j个未知变量xj的系数。这样，高斯消元过程就可以在这张数表上进行操作，这张数表就称之为矩阵(matrix)。11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab92.1高斯消元法矩阵的定义定义：数域F中的m×n个元素aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排列成m行n列，并括以圆括号（或方括弧）的数表称为数域F中的m×n矩阵，通常用大写字母记做A或Am×n，有时也记做111212122212nnmmmnaaaaaaaaa()(1,2,,;1,2,,)ijmnaimjnA102.1高斯消元法矩阵的定义其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij∈C(复数域)时，A称为复矩阵。m×n个元素全为0的矩阵称为零矩阵，记做0。当m=n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）。数域F上的全体m×n矩阵组成的集合，记做Fm×n或Mm×n(F)；全体n×n实矩阵（或n阶实矩阵）组成的集合，记做Rn×n或Mn(R)。112.1高斯消元法矩阵的定义线性方程组对应的矩阵称为增广矩阵，记为(A,b)。11112211211222211122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab122.1高斯消元法矩阵的定义其中由未知元系数排列成的矩阵A称为线性方程组的系数矩阵。111212122212nnmmmnaaaaaaaaa132.1高斯消元法矩阵举例用消元法解线性方程组的消元步骤可以在增广矩阵上实现，下面举例说明例2：求解线性方程组123512345123451234531222423345382xxxxxxxxxxxxxxxxxxx142.1高斯消元法矩阵举例解：线性方程的增广矩阵为将第1行分别乘以-2,-3,-1，并依次加到第2,3,4行上，消去后三个方程中的x1（此时也消去了x2），得111031221242(,)331453111182Ab111031001220(,)002440002153Ab152.1高斯消元法矩阵举例将第2行乘-2，分别加到第3,4行上，得第4行乘-1/3，并和第3行交换，得111031001220(,)000000000393Ab111031001220(,)000131000000Ab162.1高斯消元法矩阵举例此阶梯形增广矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的，为了在求解时省去回代的步骤，我们把每一行第一个非0元素所在的列的其余元素全化为0，即称为行简化阶梯矩阵，它所对应的线性方程组110071001042(,)000131000000Ab1253545714231xxxxxxx172.1高斯消元法矩阵举例与原方程组同解，得11221324252172413xkkxkxkxkxk182.1高斯消元法矩阵举例当线性方程组的常数项b1=b2=...=bm=0时，我们称它为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。齐次线性方程组的解法与前面一样。11112211211222211122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb192.1高斯消元法矩阵举例例3：解线性方程组12312312312522345xxxxxxxxx202.1高斯消元法矩阵举例解：第3行表示是无解的，故原方程组无解。21(1)31(2)12(1)32(1)11111111(,)1252016123450163111110700161016100020002Ab1230002xxx212.1高斯消元法矩阵举例这种含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组，有解的方程组称为相容方程组。在行简化阶梯矩阵中，全0的行表示的方程称为多余方程；在行简化阶梯矩阵中，如果某行未知量系数全为0，而对应的常数量不为0，则此行表示的方程为矛盾方程。在高斯消元法的消元过程中，在增广矩阵上会清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾方程。222.1高斯消元法线性方程组的解对于一般的线性方程组，通过消元步骤，可以将其增广矩阵化为如下所示的行简化阶梯矩阵：111,111222,122,11000000(,)00000000000000000rnrnrrrrrnrrcccdcccdcccddAb232.1高斯消元法线性方程组的解该行简化阶梯矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程组，因此线性方程组有解的充要条件是dr+1=0，在有解的情况下：1）当r=n时，有唯一解1122nnxdxdxd242.1高斯消元法线性方程组的解2）当rn时，有无穷多解，把每行第一个非0元素cii所在列对应的未知量（这里是x1,x2,...,xr）取为基本未知量，其余未知量（这里是xr+1,xr+2,...,xn）取为自由未知量，并令自由未知量依次取任意常数k1,k2,...,kn-r，即可求得111,111222,112,1111rnnrrnnrrrrrrnnrrnnrxdckckxdckckxdckckxkxk252.1高斯消元法线性方程组的解齐次线性方程组总是有解的，这是因为d1=...=dr=dr+1=0。1）当r=n时，只有0解；2）当rn时，有无穷多解。如果齐次线性方程组中方程的个数m小于未知量个数n，则必有无穷多个非0解。262.1高斯消元法线性方程组的解还需指出：用不同的消元步骤，将增广矩阵化为阶梯矩阵时，阶梯矩阵的形式不是唯一的，但阶梯矩阵的非0行数是唯一确定的，当线性方程组有解时，这表明解中任意常数的个数是相同的，但是解的表示式不是唯一的，然而每一种解的表示式中包含的无穷多个解的集合又是相等的。这些重要的结论，将在后面研究了矩阵的秩和向量的线性相关性的理论，才能得以严格的论证。272.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵不仅对研究线性方程组的问题是重要的，而且研究线性代数的各种基本问题都离不开矩阵，此外，很多实际问题的研究都要使用矩阵的工具。矩阵的加法、数量乘法、乘法是矩阵最基本的运算，为了要讨论矩阵的运算，首先要对两个矩阵相等给以定义。282.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的相等定义：如果两个矩阵A=(aij)和B=(bij)的行数和列数分别相等，且各对应元素也相等，即就称A和B相等，记作A=B。由定义可知，两个m×n矩阵构成一个矩阵等式，等价于m×n个元素的等式，例如由立即可得x=3,y=2,z=-8。1,2,,;1,2,,ijijabimjn183104024xzy292.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵与行列式的区别矩阵与行列式的本质区别：1）行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表；2）矩阵的行数和列数也可以不同；对于n阶方阵A，虽然有时也要计算它的行列式（记作|A|或detA），但方阵A和A的行列式是不同的概念，当detA=0（此时A不一定为0矩阵）时，称A为奇异矩阵。detA≠0，称A为非奇异矩阵。302.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的加法定义：设A=(aij)和B=(bij)∈Fm×n，规定并称A+B为A与B之和。必须注意：只有行数相同，列数也相同的矩阵（即同型矩阵）才能相加，且同型矩阵之和仍是同型矩阵。111112121121212222221122()nnnnijijmmmmmnmnababababababababababAB312.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的加法矩阵的加法满足以下运算律：1）交换律：A+B=B+A；2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；3）零矩阵满足：A+0=A，其中0是与A同型的零矩阵；4）存在矩阵(－A)满足A+(－A)=0，此时，如果A=(aij)m×n，则(－A)=(－aij)m×n，并称(－A)为A的负矩阵。进而我们可以矩阵的减法：A－B=A+(－B)322.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的数量乘法（简称数乘）定义：设k是数域F中的任意一个数，A=(aij)∈Fm×n，规定并称这个矩阵为k与A的数量乘积。要注意：数k乘一个矩阵A，需要把数k乘矩阵的每一个元素，这与行列式的线性性质是不同的。111212122212()nnijmmmnkakakakakakakkakakakaA332.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的数量乘法（简称数乘）矩阵的数量乘法满足以下运算律：1）1A=A2）(kl)A=k(lA)3）(k+l)A=kA+lA4）k(A+B)=kA+kB342.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的乘法矩阵乘法的定义，是从研究n维向量空间的线性变换的需要而规定的一种独特的乘法运算。矩阵运算中所具有的特殊规律，主要产生于矩阵的乘法运算。352.2矩阵的加法、数量乘法、乘法矩阵的乘法