线性代数总复习

线性代数总复习第一部分矩阵一、矩阵的本质——数表二、矩阵的定义1、由nm个数构成2、由列向量构成或行向量构成三、矩阵的运算加、减、数乘、乘法例如：A为3阶矩阵，且2A，求?3A四、矩阵的运算规律重点关注与实数运算不一样的地方例如：1、BAAB2、0AB,则0A或0B？3、ACAB,则CB？五、初等矩阵1、定义2、作用用初等矩阵从左右两边乘以一个矩阵的含义。3、几个重要的原理（1）用初等变换法求1A的原理及工具)(EA（2）用初等变换法求1AB的原理及工具AB（3）用初等变换法求AXXT的标准型的原理及工具EA六、矩阵的秩1、定义：非零子式的最高阶数、列向量的秩、行向量的秩。2、如何求矩阵的秩（1）利用定义（2）化为阶梯型矩阵七、求逆矩阵1、利用定义例如0632EAA求1A2、利用伴随矩阵AAA113、初等变化法（原理、工具）4、解方程5、利用分块矩阵p508八、矩阵的功能——打包1、线性方程组的矩阵形式bAX2、二次型的矩阵形式AXXxxxfTn),,,(213、线性替换的矩阵形式CYX九、矩阵方程如CXAX十、方阵的行列式1、行列式的本质——数2、行列式的计算（1）利用定义：行列式的值等于全部一般项之和。（零元素特别多的情况）（2）利用性质第二部分线性方程组一、研究方法——矩阵二、线性方程组的3种形式1、线性方程组的标准形式mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121112、线性方程组的矩阵形式mnmnmmnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211或bAX3、向量形式bxxxnn2211三、利用矩阵解线性方程组bAX1、如果A为方阵，且0A，则bAX1（Gramer法则）2、利用增广矩阵nmnmmnnbaaabaaabaaabA21222221111211)|(3、利用增广矩阵解方程组的原理四、线性方程组有解判定定理1、有解的条件：)()(ARAR2、有多少个解：①如果nARAR)()(，则有唯一解；②如果nARAR)()(，则有无穷多解；3、无穷多个解的情况下，求出全部解①齐次线性方程组的情况②非齐次线性方程组的情况第三部分二次型一、二次型的本质二、研究方法——矩阵三、用矩阵研究的原因原因1：二次型具有矩阵形式ninjjiijnxxaxxxf1121),,,(nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121),,,(AXXT原因2、坐标变换也具有矩阵形式nxxx,,,21——原坐标系下的坐标nyyy,,,21——新坐标系下的坐标两坐标有如下关系：nnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx221112222121112121111其矩阵形式如下：nnnnnnnnyyycccccccccxxx2121222211121121或CYX原因3、实对称矩阵具有某些特殊性质1、实对称矩阵的特征值都是实数2、A为实对称矩阵，i为它的一个特征值，重数为in，则i对应的特征向量中线性无关的向量个数达到in。推论：实对称矩阵一定与对角型矩阵相似。3、实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。4、设A是实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使AQQ1成对角阵。四、结论任何一个实二次型：AXXxxxfTn),,,(21都可以经过可逆线性替换化成标准型。标准型可进一步化成规范型，规范型是唯一的。五、化为标准型的具体办法1、正交替换法；2、配方法；3、初等变化法；六、二次型的分类1、正定2、负定3、半正定4、半负定5、不定型七、正定二次型的判定1、考察函数值2、考察运算3、考察特征值4、考察矩阵的内部结构八、其他类型二次型的判定九、合同矩阵1、定义：BCCAT，其中C可逆；2、相关性质和定理第四部分特征值与特征向量一、研究目的找到矩阵A与对角阵相似的条件：二、特征值与特征向量A三、特征值与特征向量的性质见教材P133P135四、求特征值与特征向量的具体步骤1、解特征方程，求特征值；2、对每一个特征值，求对应的特征向量；五、矩阵A与对角阵相似的条件~AA有n个线性无关的特征向量六、求P使APP1七、相似矩阵的性质（见教材P137）第五部分n维向量一、研究的原因矩阵的行与列，线性方程组的解，n维空间中点的坐标等都是向量。二、向量间的运算1、线性运算：加法、减法、数乘2、内积内积的计算有两种方法：①nnbababa2211),(②T),(三、如何证明一个向量组线性无关1、根据定义：令该向量组的线性组合为零，然后证明组合系数只能为零。2、如果向量组为具体向量，则证明nRn)(213、如果)(21n为方阵，则证明021n四、如何证明一个向量组线性相关五、线性相关、线性无关涉及的定理六、如何证明一个部分组为极大无关组1、该部分组线性无关；2、这种无关的状况达到最大；七、向量组的秩1、定义2、如何求一个向量组的秩3、如何求一个向量组的极大无关组八、与秩有关的定理P102九、正交矩阵1、从结构上考察：由单位正交向量组构成；2、从运算上考察：EAAT或TAA13、相关的定理P125十、施密特正交化