草原生态平衡的建模分析

2XXX年X月西安电子科技大学学报（自然科学版）Xxx.2XXX第X卷第X期JOURNALOFXIDIANUNIVERSITYVolXX.NOXX草原生态平衡的建模分析王X（西安电子科技大学电子工程学院，陕西西安710071）摘要:本文研究了草原生态系统中黄羊，狼群和草场之间的制约与促进的关系.文章首先把草原生态系统看作是一个离散型动力系统，并将其因素简化为黄羊，狼群和草场.再运用Logistic模型和Volterra模型对该动力系统进行建模，分析其三个因素之间的具体关系，进而对草原生态系统的平衡进行评价和预测.关键词:动力系统；Logistic模型；Volterra模型ModelingandanalysisofgrasslandecosystemQINGWang（SchoolofElectronicEngineering,XidianUniv.,Xi’an710071,China;）Abstract:ThispaperstudiestherelationshipandadvancegrasslandecosystemsMongoliangazelle,wolvesandpasturebetweenarticlefirstprairieecosystemasadiscretedynamicalsystems,andsimplifytheirfactorsMongoliangazelle,wolvesandpastureLogisticmodelandthenusethepowersystemVolterramodeltomodel,analyzethespecificrelationshipbetweenthethreefactors,andthusbalancetheprairieecosystemevaluationandforecasting.Keywords:Powersystems;Logisticmodel;Volterramodel高原草原生态环境中主要生活着黄羊群和狼群.黄羊的过度繁殖会引起草原退化和狼群数量增加，狼群的增多又会导致黄羊群数量减少.草原，黄羊群，狼群这三者之间有着相互制约又相互促进的关系.试建立草原上“草场—黄羊—狼群”的生态模型，并给出保持生态平衡的建议.1问题假设1.1草场的基本假设a.草场总面积为1000平方公里.b.每平方公里的草场在供养50只以下的黄羊时，草场不退化.当黄羊数量超过每平方公里50只时，草场衰减，衰减率与黄羊超过50只的数量成正比，比例系数为0.0001.1.2黄羊种群基本假设a.当前黄羊种群数量为60000只.b.草场充足，没有狼群的情况下，黄羊净增长率为0.1.c.草场不充足会导致黄羊种群的繁殖率下降，下降率与每平方公里平均黄羊数量减50只成正比，比例系数为0.001.2西安电子科技大学学报（自然科学版）第XX卷d.狼群会减少黄羊的数量.1.3狼群的基本假定a.当前狼群总量为100只.b.黄羊总群数量与狼群数量之比超过300/1时，狼群的净增长率为0.01.低于300/1时，狼群的繁殖率下降，下降率与狼群总量与黄羊总量的比值成比例，比例系数为0.5.c.每只狼平均每年吃掉20只黄羊.2符号说明n年份.S(n)第n年草场的总面积.X(n)第n年黄羊的种群数量.Y(n)第n年狼群的种群数量.r草场面积减少率与每平方公里平均黄羊数量减50只的数量的比例系数.m草场充足，没有狼群的情况下，黄羊净增长率.t黄羊总群数量与狼群数量之比超过300/1时，狼群的净增长率.a每只狼平均每年吃掉的黄羊数.3问题分析与建模第一步：按照对草场的基本假设，易知当时，有;当时,{[]}第二步：按照对黄羊种群的假设，利用Logistic模型和Volterra模型，可以得出黄羊数量的状态方程为:当时，有()当时，有{[[]}其中，Logistic模型刻画了草场的退化对黄羊数量增长率的影响，[[]就是Logistic模型的一项.而则刻画了狼群对黄羊数量增长的影响.第三步：按照对狼群的假设，利用Logistic模型和Volterra模型，可以得出狼群的状态方程为:当时，(),在食物充足时，狼群将呈一次函数的形式增长.当时，[],其中，是食物对狼群增长率的影响.到此，得到了描述“草原—黄羊—狼群”生态系统模型的完整数学表达式.用Matlab画出各个量之间的关系图形.Matlab编程如下：clc;clear;s(1)=1000;x(1)=60000;第X期王青:草原生态平衡的建模分析3y(1)=100;i=1;k=200;t=1:1:k;whileikx1=x(i);x2=y(i);x0=s(i);ifx1/x0=50x(i+1)=1.1*x1-20*x2;s(i+1)=x0;elsex(i+1)=(1-0.001*(x1/x0-50))*x1-20*x2;s(i+1)=(1-0.0001*(x1/x0-50))*x0;endifx1/x2=300y(i+1)=(1+0.01)*x2;elsey(i+1)=(1-0.5*x2/x1)*x2;endi=i+1;endfigure(1);plot(x,y,'b');gridon;title('羊和狼的数量变化');xlabel('羊的数量/只');ylabel('狼的数量/只');axis([4000070000100175]);figure(2);plot(t,x,'b');gridon;title('羊的数量变化');xlabel('时间/年');ylabel('羊的数量/只');axis([0200060000]);figure(3);plot(t,y,'b');gridon;title('狼的数量变化');xlabel('时间/年');ylabel('狼的数量/只');figure(4);plot(t,s,'b');4西安电子科技大学学报（自然科学版）第XX卷gridon;title('草场的数量变化');xlabel('时间/年');ylabel('草场的数量/平方公里');figure(5);plot(s,x);gridon;title('草原和羊的关系');xlabel('草原的数量/平方公里');ylabel('羊的数量/只');figure(6)plot(s,y);gridon;title('草原和狼的关系');xlabel('草原的数量/平方公里');ylabel('狼的数量/只');4模型分析4.1由程序得到的图形如下图（1）图（2）图（3）图（4）第X期王青:草原生态平衡的建模分析5图（5）由图（1）可以看出，在大约前8年的时间里，黄羊数量较快下降，具体原因可以有图（3）看出，在大约前8年里，草原退化较快.在n=8时，黄羊数量达到稳定，X(8)在5万左右波动，而且一直持续到n=200年.由图（2）可以看出，在大约n=57年之前，狼群数量快速增长，随后就和羊群一样，保持数量稳定，一直在Y(n)=169左右变化.由图（3）可以看出，草原一直在退化.4.2假设分析1.假如羊遭到捕杀，数量急降至X(0)=10000则得到如下图形从图中可以看出：(1)羊的种群数量下降至10000后，羊群在10年之内就灭.这说明该生态系统对养的恢复能力较差.6西安电子科技大学学报（自然科学版）第XX卷(2)草原不会受到羊群的消耗，没有退化，但也没有增长.这说明该生态系统草原的生命力并不强.(3)狼群在羊群消亡的前10年内，由于食物受限，其数量急降，但很快又恢复到大约98只.这说明该生态系统对狼的恢复能力较强.2.若狼遭到捕杀，假设Y(0)=40，得到如下图形由上图可见，狼群的减少，对羊群和草场基本无影响.而狼群自身也能很快恢复原来的数量水平.可见，该生态系统对狼群的稳定性和恢复能力很强.3.若草原遭到人为破坏，设S(0)=300,则得到以下图形第X期王青:草原生态平衡的建模分析7从上图可见，草原严重退化给该生态系统带来的破坏非常之大.羊群很快灭绝，狼群数量急剧下降，无法回复至原来的水平，而草原自身也是无法恢复到原来的水平的.5关于保护该生态系统平衡的建议该生态系统在狼种群遭到破坏时，尚有较强的抵抗力和恢复力.但在黄羊种群和草原受到破坏时，抵抗力和恢复力较差.尤其是在草场受到破坏时，情况尤为严重.因此，该生态系统总体而言，是一个较为脆弱的生态系统，应该注重保护，尤其是不能滥捕杀黄羊，不能滥开垦田地，对草场造成破坏.6模型的评价及修改该模型利用了Logistic模型和Volterra模型这两种成熟的数学模型，较为全面客观地刻画了该生态系统的内在规律.但是该模型只考虑了草原的退化，而没有考虑草原的进化.因此,在对草场进行基本假设时，应该将b假设中的第一条改为：“每平方公里在供养50只以下黄羊的情况下，草场不退化，其青草的生长率为β”.这样，就更全面客观了.参考资料：[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2011：222-227，230-236.[2]水鹏郎.数学建模基础[Z].2012[3]楼顺天，姚若玉，沈俊霞.Matlab7.x程序设计语言[M].西安：西安电子科技大学出版社，2007：86-87,125.