线性调频Z变换及其应用

分类号TP3编号2015060101毕业论文题目线性调频Z变换及其应用学院电子信息与电气工程学院姓名包亚飞专业班级11级电信一班学号20111060101指导教师刘保童提交日期2015.5.22天水师范学院2015届毕业生论文原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：天水师范学院2015届毕业生论文目录1引言.......................................................................12傅立叶变换的应用......................................................12.1离散傅立叶变换（DFT）................................................22.2快速傅里叶变换（FFT）................................................33CZT变换......................................................33.1CZT变换理论分析....................................................33.2CZT变换的实际应用...................................................53.3CZT变换的运算结果仿真...............................................64结语......................................................................7参考文献.....................................................................8致谢........................................................................9天水师范学院2015届毕业生论文线性调频Z变换及其应用包亚飞(天水师范学院，电子信息与电气工程学院，甘肃天水741000)摘要：在频谱分析领域，有多种运算方法，主要有离散傅立叶变换（DFT）算法、快速傅里叶变换（FastFourierTransform，FFT）算法、线性调频Z变换等。但是，由于FFT算法反映不出精确的信号的频谱特性，对此，在这里我们主要讨论一种建立在DSP上的，采用FFT算法的变换方法对实序列进行离散傅里叶变换（DFT）计算的方法，即线性调频Z变换（CZT）。对于一样的数据序列，使用CZT运算的效率是FFT变换运算的2~3倍，其运算结果和FFT、DFT的一样。线性调频Z变换（CZT）可以用任意长度的采样序列，并非一定要求基-2FFT的长度，从而，可以使得系统得到最有效的采样率和频谱分辨率。关键词：线性调频Z变换；傅立叶变换；频谱分辨率；数据处理天水师范学院2015届毕业生论文ChirpZtransformanditsapplicationBaoYafei(SchoolofElectronicinformationandelectricalengineering,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741000,China)Abstract:Therearemanyoperationmethodsinthefieldofspectralanalysis,mainlyhasdiscreteFourierTransform(DFT)algorithmandFastFourierTransform,FastFourierTransform,FFT)algorithm,chirpZTransform,etc.But,asaresultoftheFFTalgorithmdoesnotreflecttheprecisesignalspectrumcharacteristics,andforthisissuewemainlydiscussakindofbasedonDSP,thetransformmethodbyusingFFTalgorithmcompactionsequenceofdiscreteFouriertransform(DFT)calculationmethod,namelythechirpZtransform(CZT).Forthesamedatasequence,usingCZToperationstheefficiencyoftheFFTtransformoperationsof2~3times,itscomputationalresultsisequaltoFFTandDFT.ChirpZtransform(CZT)canusethesamplingsequenceofarbitrarylength,doesnothavetorequestthelengthofthebase2-FFT,thus,canmakethesystemtogetthemosteffectivesamplingrateandthespectralresolution.KeyWords:ChirpZtransform;Fouriertransform;Spectralresolution;Thedataprocessing1线性调频Z变换及其应用1引言随着世界电子领域的高速发展，集成电路的应用也越来越广，其主要在计算机、自动控制到航空、通信等各种个人电子产品中。在这些应用中，为了确保产品的质量，从而需要对其一些参数进行测试，其中大多数参数都是混合信号，所以要对这些混合信号的数据就行采样。采样得到的信号为连续时域信号，在根据傅里叶变换把采样得到的信号转换成频域表示。可以根据变换的结果得到原信号的相位谱和幅度谱。傅里叶变换频谱分析，已经成为一个不可缺少的数据分析工具，主要有快速傅里叶变换和离散傅里叶变换。这两种变换得到的结果是一样的，不同的是它们的变换速度。对于某一序列)(nx，用离散傅立叶变换)(DFT运算，则需要大量的时间处理数据，如果采用快速傅里叶变换（FFT）就可以避免处理时间过长的问题，但是，由于FFT对有限序列的长度有限制。对此，为了解决上面在时间和序列长度方面的问题和限制，有人就提出了一种新的运算法则，即线性调频Z变换（CZT）出现了，。FFT的频谱是等间隔抽样的离散序列。若采样频率为sf,抽样点数为N,则频域抽样间隔NfFs/0,如果在两谱线间频谱有很大变化时，则无法将其检测出来。当sf保持不变时，为了减小频率抽样间隔，提高频率分辨率，只能增加抽样点数，这将使得运算量大为增加[1]。基于上面讨论的问题，在本文中，我主要学习了线性调频Z变换，并作出一定的理论和仿真。2傅立叶变换的应用离散傅立叶变换)(DFT是连续傅立叶变换在离散系统中的表示形式，因为离散傅立叶变换)(DFT的计算量大，所以其应用受到了很大的限制。在这些问题的存在下，在1956年由库利（Cooley）和图基（Tukey）年发现了快速傅立叶变换天水师范学院2015届毕业生论文2（FFT）算法。FFT证明是非常适合于高效的数字实现，并且它将计算变换所需的时间减少了几个数量级[2]。尽管快速傅里叶变换（FFT）能减少数据处理时间，但是速傅里叶变换（FFT）的结果只会取得取样点的频谱值，却取不到取样点之间的频谱信息。当实际频谱的峰值落在频谱取样点之间时，从FFT计算结果中得不到该峰值的真实频率、幅值和相位。如果把FFT谱的峰值作为真实频谱的峰值，必然带来频率、幅值和相位误差。2.1离散傅立叶变换（DFT）一般在傅立叶变换中，由频域表示的各个分量，主要由复指数函数和正弦和余弦函数交叉来表示频域中的各个分量。假定任何一个数据波形都可以用正余弦交叉来表示，根据DFT的定义可以得到得:)1,...,1,0()2sin2)(cos(10NkNknjNknnXXNnk)1(在目前的一些测试系统中，通过离散傅立叶变换（DFT）可以从上面的这些正余弦分量中直接计算出有限序列的频率。而这样一种可以在每一个点计算的方法，就好比是一个对振幅和相位都可调的滤波器。如果在某一个频带内，对有限序列进行测试，则这个可调滤波器，就可以运算出在每一频率kX时正余弦的输出。假定将所有的余弦输出相加定义为实部，所有的正弦输出相加定义为虚部，则实部和虚部就可用下面的两个式子来表示：)1,,1,0()2)(cos(Re10NkNknnXXNnk)2()1,,1,0()2)(sin(Im10NkNknnXXNnk)3(这时，在频率kX的采样处，其功率频谱可定义为：22]Im[]Re[][kkkXXXpower)4(在频率kX的采样处，其相位频谱定义为：)]Re[]Im[(tan][1kkkXXXphase)5(但对每一个kX，要得到DFT结果都需要进行N次复数乘运算和1N次复数加运算，所以对于N个X分量的总的DFT运算数据的结果共需要2N次的复数天水师范学院2015届毕业生论文3乘运算和)1(NN次的复数加运算。可见这样的运算量是很大的，尽管我们才用数列)(nx的各种对称性，这样可以加快DFT的运算效率，但是这样会花费更大的代价，在现实生产中这种方法往往是不能采用的。2.2快速傅里叶变换（FFT）快速傅立叶变换(FFT)，一般采用基-２FFT分蝶形运算。对N个Ｘ分量，需要完成2/N个蝶形运算，因此需要做)(log2/2NN复数乘法和)/(log2NN次复数加法。利用FFT算法和利用DFT算法直接计算的结果相比，它们所需的复数乘法的次数之比为：NNNNNM222log21log2)6(而它们所需的复数加法的次数之比分别为：NNNNA222log1log)7(从上面两个式子可以得出，采用FFT运算要比采用DFT的运算减少很大的运算量。但是，我们知道FFT对有限长数列的长度有严格的要求，这也是它最大的局限性所在。它的采样数据的个数必须为2n个，即)n212864(，，，。同时我们又知道采样序列的长度与FFT谱谱分辨率成反比，即FFT频谱分辨率=采样频率/采样数。从这个式子出发，在信号的检测中，我们必须要将信号的采样频率做出一定的调整，才可以使采样数据满足上面的条件，但是这样的采样频率却会影响混合信号电路的检测。3CZT变换Chirp-z变换是一种可以有效计算数据序列的功率谱和相位谱的方法，它采用螺线抽样，可适用于更一般情况下有)(nx到)(kZX快速算法，这种用卷积来计算DFT变换的方法称为线性调频Z变换，简称CZT[3]。在对一数据进行相同的采样的情况下，运用CZT变换的运算结果和FFTT、DF变换的运算结果是一致的，但是FFT对信号序列的长度要求有很大的限制，而CZT变换对信号序列长度可以使任意的。3.1CZT变换理论分析天水师范学院2015届毕业生论文4在这里我们将一长度为)1(N的有限序列)(nx，使用)(zX表示它的Z变换，利用CZT运算法则，然后计算给定点kZ上的)(kZX，令：)1,...,1,0(MkAWZkk，其中00jeWW，经过一定的推论可得：)1,...,1,0(])([)(2)(1022222NkWWAnxWZXnkNnnnKk)8(研究某一组采样数列)(nx，主要按照下面的步骤进行分析：（1）选择一个最小的数L，使其满足ML2且)1(MNL，以便用基-2FFT算法来求得)(ng与)(n