线性谐振子的不同解法比较

线性谐振子的不同解法比较关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数摘要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。中国分类号：（140物理学）文献标识码：A文章编号：ComparisonwithSeveralDifferentMethodsontheSolutionsofOne-dimensionalLinearHarmonicOscillatorKeywords:one-dimensionallinearharmonicoscillator;eigenvalueofenergyandwavefunctionAbstract:One-dimensionallinearharmonicoscillatorasabasicmodelinquantummechanics,therearemoreandmoresolutionstoitwiththeincreasingdevelopmentofthetheoryofmathematics.Itwillservethedifferentproblemsofmultidimensionalandcoupledharmonicoscillator.Wewillrespectivelysolveone-dimensionallinearharmonicoscillatorfromthetheoryofpresentative,matrixmechanicsandparityrespectively.1．引言谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。本文我们将建立最简单一维线性谐振子作为模型并用不同的方法处理。设一维谐振子的质量为m,其圆频率为,势函数为，22()12xVmx，则其Hamilton量[2]为1222122pHmxm（1.1）收稿日期：2015-03-30作者简介：李德远（1990年生），男，本科学生，物理学我们也可以采用自然坐标系（即1）[3],能量单位为，长度单位为m。则（1）又可写作221122Hpx（1.2）我们知道经典力学到量子力学的转变，满足量子化条件[4]ˆˆ[,]xpi[5]，在自然坐标下又可写作ˆˆ[,]xpi（1.3）2．在坐标表象中的解法写出在x表象中的Schrodinger方程22()22()()2122xxxdmxEmdx（2.1）令mxx，2E（2.2）则（2.1）2并带入（2.2）可得，222()0dd（2.3）由数理方法，我们先看在时方程的渐进行为，可以看出在时，方程（6）又可以写作222dd，它的渐进解为~22e。由于波函数的物理边界条件要求时，有限。则()可写作22()()eH(2.4)将它带入（2.1）式，并对求二级微商可得：222(1)0dHdHHdd(2.5)()H为厄米多项式，（7）式为Hermite方程[6]对（7）式求解，只有当12,0,1,2nn···时，才有能量本征值1(),0,1,22nEnn····对应波函数22()(),0,1,2nnnNeHn···其中，nN是归一化系数，可以通过正交归一化条件来确定。正交归一化条件为：()()nnnnxxdx（2.6）定出：12122!nnNn（2.7）3．在动量表象中的解法在动量表象中，xip[7]，所以（4）在动量表象中的Schrodinger方程为2222()()()21122pppdpmEmdp（3.1）令pmy，则上式变为22()22()()2122yyydmyEmdy（3.2）可以看出（9）式和（4）式的形式是相同的，解法也是相同的，所以结果也是一致的。4．在能量表象中的解法根据ˆˆˆ[,]ˆFxFix，ˆˆˆ[,]ˆFpFip[8]（4.1）对（1.1）式分别对,xp求导，再将（4.1）式带入，有2ˆˆˆˆˆˆ()ˆHimxHppHx（4.2）ˆ1ˆˆˆˆˆ()ˆHipHxxHpm（4.3）分别对（4.2）和（4.3）中两式取能量表象的的矩阵元，有2ˆˆˆˆˆ()iimxjiHppHj（4.4）1ˆˆˆˆˆ()iipjiHxxHjm（4.5）(4.4)和（4.5）式又可写作2ˆ()ijijijimxEEp（4.6）1()ijijijipEExm（4.7）消去（4.6）和（4.7）中两式的ijp，有222()ijijijxEEx所以ijp和ijx有非零解的条件是222()ijEE和ijEE解得1(),0,1,22iEii···[9]5．在占有数表象中的解法（因式分解法）由222211()[()]22Hpxxip（5.1）通过因式分解可得111()()222Hxipxipixpipx（5.2）或者111()()222Hxipxipixpipx（5.3）由于零点能的存在[10]，（5.3）这种排列不存在零点能，不符合物理规律，顾不考虑。再由对应关系（1.3），式（5.2）由经典力学转变到了量子力学的邻域，变为111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ()()222Hxipxipixpipx11ˆˆˆˆ()()22xipxip（5.4）令1ˆˆˆ()2axip和1ˆˆˆ()2axip并将其带入（5.4）时，有11ˆˆˆˆ22HaaN(5.5)其中算符ˆN的本征值是粒子数n，且ˆN为正定厄米算子[11]满足11ˆˆ(),0,1,222HnNnnnn···(5.6)所以1(),0,1,22nEnn···6．宇称解法设()()VxVx，对应于任何一个能量的本征值E，总可以找到方程（4）的一组解（且每一个解都有确定的宇称[12]），而属于能量本征值E的任何解，都可用他们展开[13]设（2.3）式的解为22()()e（6.1)()所满足的方程为22()()2(1)()0dxdxxdd（6.2）又因为()()VxVx，所以()是有确定的宇称，而且()的奇偶性由()决定。设()()24()240()()2()21,0,2,4(),1,3,5nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaanaaan（6.3）将（6.3）式带入到（6.2）式中，要求21n解得11(),0,1,2,322Enn对于波函数，可以将21n带入（6.2）式，有22()()22()0dxdxnxdd（6.4）再将（6.3）式带入（6.4）式，有2(0)200()ae2(1)211()ae2(2)2202()(21)ae2(3)32132()()3ae2(4)422404()(41)3ae2(5)5225144()()153ae······其中(0)0a，(2)0a，(4)0a，(1)1a，(3)1a和(5)1a分别由波函数的归一化条件确定。7．矩阵力学的解法矩阵力学主要是有海森堡，波恩，约尔丹，泡利等人发展创立，是量子力学的基础，其主要意图是想通过可以观察的物理量如，光强，频率等，来研究微观模型中电子在原子中的轨道运动等问题14。主要内容有：任何一个物理量都可以用厄米矩阵来表示；坐标矩阵和动量矩阵的对易关系；系统的正则运动方程以及物理系统光谱频率的决定关系。由海森堡运动方程（即矩阵力学的运动方程），量子力学的泊松括号以及矩阵方程，满足2211()2xpxxpim2211()2pxpxppxpxpimpm（7.1）1(pHppHih）（7.2）22211(2pmxpxpxxpxpxih）2mx(7.3)对（1.3）式取厄米共轭，有引入，1()2pbimxm，1()2pbimxm则有12Hbb（7.4）12Hbb（7.5）将（7.4）式左乘b和将（7.5）右乘b，则两式应相等，即11()()22HHbb（7.6）可以得到，1,HbbHbHb（7.7）取其矩阵元，矩阵方程，''''''bHHH（+1）=0（7.8）另外，当且仅当'''HH时，'''bH才恒不为零。再取bb对角元，有'''''''1bb2HHH（7.9）因为''''''bbHH所以'102H因此，本征值为'1351,,()2222Hn8．总结从以上不同的解法可以看到，总体可以分为两种类型，从解析的角度或者从矩阵的角度来处理数学问题。如果从物理的角度，又可以从表象，宇称，矩阵力学等角度出发分析方程，进而用不同的方法解出同样的结果。一方面证实了我们所求结果的正确性，另一方面也为我们求解其他复杂问题提供了方法。从表象的理论出发，首先通过坐标表象，用解析的方法（可参看《数学物理方法》），可以求出Schrodinger方程的本征值和本征函数，最终由正交归一化条件定出归一化因子。相对来说方法很基础。在动量表象里，只要将Schrodinger方程变换成动量表象即可得到与坐标表象形式相同的方程，所以其结果也将相同。在能量表象中，通过（4.1）的对易关系，将其取做能量表象的矩阵元形式，然后解出线性方程（可参看《线性代数》）。但需要提及的是这种方法的波函数未能求出来。在宇称表象中，根据()()VxVx条件下，方程具有确定的宇称，从而可以分不同的宇称即奇宇称或者偶宇称的情况下，将其展开的波函数带入Schrodinger方程。也可以求出本征函数和本征值。从矩阵力学的角度出发，我们需要根据一定的矩阵力学的知识：矩阵力学的运动方程以及矩阵方程，即（7.1）（7.2）（7.3）等。然后就是解矩阵方程。通过这种方法可以看出，物理图像已经不像在表象理论里的解法那么清楚了，变得更加抽象化，理论化。不可否认，这种方法的适用范围将更加广泛，包括处理更加复杂的谐振子模型。当然，随着科学技术的进步，计算机的使用给自然科学带来了极大的发展。通过使用Matlab编程，用有限差分法模拟一维线性谐振子，亦可以计算出本征值和本征函数15。9．参考文献[1]蒋继建，等.利用表象变换精确求解最一般双耦合谐振子的能量本征值[J].大学物理，2005,24（6）：36-37.[2]周衍柏.理论力学教程[M].第三版.北京：高等教育出版社,2009.7:231-237[3]曾谨言.量子力学教程[M].第二版.北京：科学出版社，2008:255-256[4]魏同利，刘家荣.量子化条件与不确定度关系[J].赤峰学院学报.2010.07[5]周世勋.量子力学教程[M].第二版.北京：科学出版社，2009.6:76-77[6]高等数学，第四册.四川大学数学学院高等数学、微分方程教研室编[M].第三版.北京：高等教育出版社，2010.5:426-429[7]文胜乐.动量表象中的算符及薛定谔方程[J].益阳师专学报.1994.11.5[8]张鹏飞,等.量子力学学习指导[M].合肥，中国科学技术大学出版社，2008.5:83-84[9]刘