经济数学微积分(“十二五”规划教材)51定积分的概念与性质-习题

第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解11．利用定积分的定义计算下列积分：⑴baxdx（ab）；【解】第一步：分割在区间[,]ab中插入1n个等分点：kbaxkn，（1,2,,1kn），将区间[,]ab分为n个等长的小区间[(1),]babaakaknn，（1,2,,kn），每个小区间的长度均为kban，取每个小区间的右端点kbaxakn，（1,2,,kn），第二步：求和对于函数()fxx，构造和式1()nnkkkSfx1nkkkx1()nkbabaaknn1()nkbabaaknn1()nkbabanaknn1()nkbabanaknn(1)[]2babannnann1()[(1)]2babaan1()()22bababaan1()()22bababan第三步：取极限令n求极限1limlim()nnkknnkSfx1lim()()22nbababan()(0)22bababa()2baba222ba，即得baxdx222ba。⑵10xedx。【解】第一步：分割第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解2在区间[0,1]中插入1n个等分点：kkxn，（1,2,,1kn），将区间[0,1]分为n个等长的小区间1[,]kknn，（1,2,,1kn），每个小区间的长度均为1kn，取每个小区间的右端点kkxn，（1,2,,kn），第二步：求和对于函数()xfxe，构造和式1()nnkkkSfx1knxkke11knnken11knnken由于数列kne为等比数列，其首项为11nxe，公比为1nqe，可知其前n项和为1111[1()]1knnnnnkneeee11(1)1nneee，于是1()nnkkkSfx11knnken111(1)1nneene111(1)1nnenee第三步：取极限令n求极限1limlim()nnkknnkSfx111lim(1)1nnnenee1xn0(1)lim1xxxxeee洛必达法则0(1)limxxxxexeee01=(1)lim1xxe=(1)(1)1ee，即得101xedxe。2．利用定积分的几何意义，证明下列等式：⑴1021xdx；【证明】定积分102xdx的几何意义是由直线2yx，1x及x轴围成的三角形的面积，第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解3如图可见即知，102OABxdxS2ABOB2112。证毕。⑵12014xdx；【证明】定积分1201xdx的几何意义是由圆弧21yx与x轴及y轴所围成的四分之一圆形的面积，如图可见12220111()1444xdxSOA半圆。证毕。⑶sin0xdx；【证明】定积分sinxdx的几何意义是由正弦曲线sinyx在[,]上的一段与x轴所围成的图形的面积，如图可见图形由两块全等图形组成，12sinxdxSS，其中1S位于x轴下方，2S位于x轴上方，显见12SS，从而22sin0xdxSS，证毕。⑷2202cos2cosxdxxdx。【证明】定积分22cosxdx的几何意义是由余弦曲线cosyx在[,]22上的一段与x轴所围成的图形的面积，如左图所示，为22cosxdx12SS,第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解4而定积分20cosxdx的几何意义是由余弦曲线cosyx在[0,]2上的一段与x轴所围成的图形的面积，如右图所示，为20cosxdx2S,由于曲线cosyx关于y轴对称，可知12SS，亦即1222SSS，即知2202cos2cosxdxxdx。证毕。3．已知101ln21dxx，试用矩形法公式（5.3），求出ln2的近似值（取10n，计算时取4位小数）。【解】矩形法公式（5.3）为011()()bnabafxdxyyyn，其中()iiyfx（0,1,,1in），而ix（1,,1in）为区间[,]ab的1n个等分点。于是，在区间[0,1]插入1n个等分点iixn，（1,,1in），对于1()1fxx，求出1()1iifxx11innni，（0,1,,1in），于是，当10n时，101ln21dxx110101010101010101010()10101112131415161718191111111111101112131415161718190.10.090910.083330.076920.071430.066670.062500.058820.055560.052630.718770.7188。4．证明定积分性质：⑴()()bbaakfxdxkfxdx；【证明】在区间[,]ab中插入1n个等分点：kx，（1,2,,1kn），每个小区间的长度第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解5均为k，对于函数()()Fxkfx，有：()bakfxdx()baFxdx----()()Fxkfx1lim()nkknkFx----定积分()baFxdx的定义1lim()nkknkkfx----()()Fxkfx1lim()nkknkkfx----加法结合律()kabkakb1lim()nkknkkfx----极限运算法则lim()lim()cfxcfx()bakfxdx----定积分()bafxdx的定义⑵1bbaadxdxba。【证明】在区间[,]ab中插入1n个等分点：kbaxakn，（1,2,,1kn），每个小区间的长度均为kban，对于函数()1fx，构造和式1()nkkkfx11nkk1nkban11nkbanbannba，即由定积分定义得1badx1lim1nknklim()nbaba。再由上⑴的结论()()bbaakfxdxkfxdx，即得11bbbaaadxdxdx。综上得：1bbaadxdxba，证毕。5．估计下列积分的值：⑴221(2)xdx；【解】函数2()2fxx在区间[1,2]上，有'()20fxx恒成立，第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解6知2()2fxx在区间[1,2]上单调减少，于是有(2)()(1)ffxf，亦即2221x，从而得2212(21)(2)1(21)xdx，亦即2212(2)1xdx。⑵5244(1sin)xdx；【解】函数2()1sinfxx1cos212x31cos222x，由544x得5222x，而知1cos21x，从而111cos2222x，即知3131312cos21222222x，亦即211sin2x，从而得5244551()(1sin)2()4444xdx，亦即5244(1sin)2xdx。⑶313arctanxxdx；【解】函数()arctanfxxx在区间1[,3]3上，有2'()arctan01xfxxx恒成立，知()arctanfxxx在区间1[,3]3上单调增加，于是有1()()(3)3ffxf，亦即11arctanarctan3arctan333xx，整理得arctan633xx从而得31311(3)arctan(3)63333xxdx，第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解7亦即3132arctan93xxdx。⑷202xxedx。【解】注意到222022200()xxxxxxedxedxedx，函数2()xxfxe在区间[0,2]上，有21'()2()2xxfxxe，得唯一驻点12x，无不可导点，对比0(0)1fe，1114241()12fee，422(2)fee，知在区间[0,2]上有2124xxeee，于是有212240(20)()(20)xxeedxe，亦即21024222xxeedxe。6．设()fx及()gx在闭区间[,]ab上连续，证明：⑴若在[,]ab上，()0fx，且()0bafxdx，则在[,]ab上()0fx；【证明】反证法：设有[,][,]cdab，使()0fx不成立，则由题设在[,]ab上，()0fx，不妨设[,]xcd时()0fx，于是，由于()fx在[,][,]cdab上连续，知()fx在[,]cd上可积，即由曲边梯形面积定义知，()0dcfxdx，但由于在[,]ab上，()0fx，即知在[,]ac和[,]db上，有()0fx，于是由定积分性质5.1.4知，有()0cafxdx，()0bdfxdx，从而由已知()0bafxdx亦即()()()0cdbacdfxdxfxdxfxdx，得到()[()()]0dcbcadfxdxfxdxfxdx，这与上面的()0dcfxdx相矛盾，从而假设不成立，即使命题得证成立。第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解8⑵若在[,]ab上，()0fx，且()0fx，则()0bafxdx；【证明】由定积分性质5.1.5，若在[,]ab上，()0fx，则()0bafxdx，因此，下面只须由()0fx证明()0bafxdx，应用反证法，设()=0bafxdx，则由⑴的已证命题，由在[,]ab上，()0fx，且()=0bafxdx，则在[,]ab上()0fx，这与已知()0fx相矛盾，可知假设()=0bafxdx不成立，从而命题得证。⑶若在[,]ab上，()()fxgx，且()()bbaafxdxgxdx，则在[,]ab上()()fxgx。【证明】设()()()Fxgxfx，即由题设()()fxgx得()0Fx，于是，待证命题转换成为：在[,]ab上，()0Fx，且()=0bafxdx，则在[,]ab上()0Fx，而这是已证命题⑴，从而命题得证成立。7．根据定积分的性质及上题的结论比较下列各组积分的大小：⑴120xdx，130xdx；【解】当01x时，对不等式1x两端同乘20x，得32xx，亦即23xx，即由定积分的性质（推论5.1.1）得112300xdxxdx。⑵10xdx，10ln(1)xdx；【解】令()ln(1)fxxx，即有1'()11fxx1xx，易见当01x时，成立'()0fx，知函数()ln(1)fxxx在[0,1]上单调增加，又因(0)0ln(10)0f，知当01x时，有()ln(1)0fxxx，亦即当01x时，成立ln(1)xx，第5章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质习题解9即由定积分的性质（推论5.1.1）得1100ln(1)xdxxdx。⑶10xedx，10(1)xdx