经济数学微积分(“十二五”规划教材)52微积分基本公式-习题

第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解11．设函数0cosxytdt，求'(0)y，'()4y。【解】由题设得'()cosyxx，于是得'(0)cos01y，2'()cos442y。2．计算下列各导数：⑴2201xdtdtdx；【解】由于2201xtdt是x的复合函数，中间变量是2x，得2201xdtdtdx2221()()dxxdx421xx。⑵1txdedtdx；【解】由于1txedt的变量x在下限，应将它变形为变量在上限的定积分才可套用微积分基本定理1txdedtdx1()xtdedtdx()xdexdx2xex。⑶cos2sincos()xxdtdtdx；【解】由于cos2sincos()xxtdt为上下限均带变量x的定积分，应利用可加性将它分拆为两个变量在上限的定积分才可套用微积分基本定理cos2sincos()xxdtdtdx0cos22sin0[cos()cos()]xxdtdttdtdx0cos22sin0cos()cos()xxddtdttdtdxdxsincos2200[cos()]cos()xxddtdttdtdxdx22cos(sin)(sin)cos(cos)(cos)ddxxxxdxdx22cos(sin)coscos[(1sin)](sin)xxxx22cos(sin)coscos(sin)sinxxxx22cos(sin)coscos(sin)sinxxxx2cos(sin)(sincos)xxx。第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解2⑷2ln1xxddtdxt。【解】2ln1xxddtdxt21ln111[]xxddtdtdxtt21ln111xxdddtdtdxtdxt2ln1111[]xxdddtdtdxtdxt2211(ln)()lnddxxxdxxdx21112lnxxxx12lnxxx11(2)lnxx。3．设函数()yyx由方程00cos0yxtedttdt所确定，求dydx。【解法一】方程00cos0yxtedttdt中完成积分即为00sin0tyxet，亦即为(1)sin0yex，得知1sinyex，解出y，得ln(1sin)yx，于是得1cos(1sin)1sin1sindydxxdxxdxxcossin1xx。【解法二】在方程00cos0yxtedttdt两边对x求导，注意到()yyx，得00[cos](0)yxtddedttdtdxdx即得()cos0ydeyxdx，亦即cos0ydyexdx，解出dydx，得cosydyxdxe，方程00cos0yxtedttdt中完成积分即为00sin0tyxet，亦即为(1)sin0yex，得知1sinyex，再将1sinyex代入cosydyxdxe中，得coscos1sinsin1dyxxdxxx。4．设0sintxudu，0costyudu，求dydx。【解】问题是由参数方程求导第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解3【解法一】dydydtdxdxdt00cossinttdududtdududtcoscotsinttt。【解法二】dydx00cossinttdudududucossintdttdtcoscotsinttt。5．求下列极限：⑴200coslimxxtdtx；【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得200coslimxxtdtx20coslim1xx2cos01。⑵020arctanlimxxtdtx；【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得020arctanlimxxtdtx0arctanlim2xxx----应用洛必达法则2011lim2xx----再次应用洛必达法则21112102。⑶220201limxxtdtx；【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得220201limxxtdtx22201()()'lim2xxxx----应用洛必达法则4012lim2xxxx----完成求导2()'x第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解440lim1xx----整理4101。⑷2220020()limxtxxtedttedt。【解】这是“00”未定型极限，应用洛必达法则，得2220020()limxtxxtedttedt22200202limxxttxxdedtedtdxxe----应用洛必达法则2220202limxtxxxedtexe----完成求导20xtdedtdx22002limxtxxedtxe----分子分母同消去2xe222202lim2xxxxeexe----再次应用洛必达法则202lim12xx----分子分母同消去2xe222120。6．当x为何值时，函数20()xtIxtedt有极值。【解】由给定的函数20()xtIxtedt可见，其定义域为(,)，由于2'()xIxxe，可得()Ix有唯一驻点0x，无不可导点，显见，当0x时，'()0Ix，当0x时，'()0Ix，可知，函数()Ix在点0x处取得极小值。7．计算下列定积分：⑴22411()xdxx；【解】22411()xdxx321311()33xx33111(21)(1)332218。⑵94(1)xxdx；第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解5【解】94(1)xxdx1924()xxdx3292421()32xx33222221(94)(94)3221(278)(8116)322716。⑶312311dxx；【解】312311dxx313arctanx1arctan3arctan3366。⑷32201adxax；【解】32201adxax3202111()adxxaa302111()axdxaaa301arctanaxaa13(arctanarctan0)aaa1arctan3a13a3a。⑸420213311xxdxx；【解】420213311xxdxx02211(3)1xdxx301(arctan)xx30(1)arctan0arctan(1)10arctan114。⑹1011edxx；【解】1011edxx101(1)1edxx10ln(1)exlnln1e1。⑺240tanxdx；【解】240tanxdx240(sec1)xdx40(tan)xxtan4414。⑻240cos()2xdx；第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解6【解】240cos()2xdx401cos2xdx401(sin)2xx1(sin)244284。⑼212xdx；【解】212xdx021022xdxxdx0210(2)2xdxxdx202210xx22[0(1)](20)5。⑽20sinxdx；【解】20sinxdx20sinsinxdxxdx20sin(sin)xdxxdx20coscosxx(coscos0)(cos2cos)(11)[1(1)]4。⑾3401cos2xdx；【解】3401cos2xdx32402cosxdx3402cosxdx324022[coscos]xdxxdx324022(coscos)xdxxdx324022(sinsin)xx32[(sinsin0)(sinsin)]24222[(10)(1)]2221。⑿20()fxdx，其中21,1()1,12xxfxxx。【解】20()fxdx1201()()fxdxfxdx122011(1)2xdxxdx21320111()26xxx11(1)(81)2683。8．设2,[0,1)(),[1,2]xxfxxx，求0()()xxftdt在[0,2]上的表达式，并讨论()x在(0,2)内的连续性。第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解7【解】当0x时，00()()0xftdt3013xx；当(0,1)x时，0()()xxftdt20xtdt3013xt313x；当1x时，10(1)()ftdt120tdt3101133t3113xx2111()26xx；当(1,2)x时，0()()xxftdt101()()xftdtftdt1201xtdttdt312011132xtt211(1)32x21126x，当2x时，20(2)()ftdt1201()()ftdtftdt12201tdttdt3122011132tt211(21)321162211()26xx，于是，321,[0,1)3()11,[1,2]26xxxxx，由于初等函数313x在[0,1)内连续，初等函数21126x在(1,2]内连续，故要讨论()x在(0,2)内的连续性，仅须讨论()x在1x处的连续性，由于31111lim()lim33xxxx，211111lim()lim()263xxxx，且(1)2111()26xx13，可知()x在1x处连续，从而，()x在(0,2)内连续。9．设1sin,0()20,0xxfxxx或，求0()()xxftdt在(,)内的表达式。【解】当0x时，0()()xxftdt000xdt，当0x时，0()()xxftdt01sin2xtdt01cos2xt1cos2x，当x时，0()()xxftdt01sin02xtdtdt01cos02t1(11)21，第5章定积分及其应用5.2微积分基本公式习题解8于是得0,01cos(),021,xxxxx。10．设13201()()1fxxfxdxx，求10()fxdx。【解】对13201()()1fxxfxdxx等号两端在区间[0,1]上积分，注意10()fxdx为常数，得111320001()[()]1fxdxxfxdxdxx111320001[()]1dxfxdxxdxx11410001arctan[()]4xfxdxx101[()]44fxdx即有11001()()44fxdxfxdx，移项，整理即得10()3fxdx。11．已知21200()()2()fxxxfxdxfxdx，求()fx。【解】问题在于求出10()fxdx和20()fxdx，可应用上题的方法，对21200()()2()fxxxfxdxfxdx等号两端在区间[0,2]上积分，注意10()fxdx和20()fxd