计量经济学第十章联立方程组模型

第十章联立方程组模型第一节联立方程组模型概述一、问题的提出1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。二、联立方程组的概念1、联立方程组模型的定义。由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。2、联立方程组模型的例子。（1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。)3()2(0)1(012101110sidiiisiiidiQQuPQuPQ称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；diQ表示需求量，siQ表示供给量，iP表示价格，iiuu21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。（2）一个凯恩斯宏观经济模型。011012(4)(5)(6)ttttttttttCYuIYuTCIG式中，C表示消费，Y表示国民总收入（又GDP，实际上它们是有区别的），I表示私人投资，G表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性）1、内生解释变量与随机误差项的相关性。2、直接对联立方程组模型运用OLS法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。例如，设凯恩斯收入决定模型为01)(11)1()0)(())(())())(((),cov(1)(11)1(11)(111)1(10122111110111011100110110UEUUEUEUYEYEUEUYEYEUYUYEYIUEIYEUIYUIYIUYYICYUYCttttttttttttttttttttttttt表明内生变量Y在作解释变量时与随机误差U相关。对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）21221021022221)1()()0)(()()())((ˆyUyyYyyUyYyyyyUYyCyYYyyyCCyyyCCYYYYCC求1ˆ的数学期望1211)()ˆ(yUyEE在上式中，由于0)(UyE，所以，1ˆ不是1的无偏估计。再看参数估计的一致性。对1ˆ的表达式两端同时求概率极限，得1212121212111)lim()lim()lim()ˆlim(YnynUypyUypyUypp表明1ˆ不是1的一致性估计。下面根据此例用具体的数据（文件名kaiensimx）加以说明。假定投资I得数据已知，并且用蒙特卡罗方法生成随机误差U得数据，再假定0),cov(04.0)var(),0(0)(,0)(2tttstttIUUsUUEUE进一步假定消费函数中得参数真实值已知为8.0,210。（1）由8.0,210和U的值，根据1110111tttUIY计算Y的数值；（2）由8.0,210、Y的数值和U的数值，根据消费函数计算C的数值。（3）由于用蒙特卡罗方法生成随机误差U的数据，则样本误差应正好是“真实”误差，故求C对Y的回归，所得的参数估计就应是8.0ˆ,2ˆ10，与真实值一致。（4）但当Y与U相关时，则参数估计的无偏性不再满足。（Gujarati，计量经济学，第641页）四、联立方程组模型中的几个概念1、内生变量。其数值由模型体系所决定的变量称之为内生变量。其特点是：（1）内生变量受模型体系的影响，反之亦然；（2）内生变量是随机变量。2、前定变量。包括外生变量和滞后内生变量。外生变量是指，它取的数值不由模型体系所决定。其特点是：（1）外生变量影响模型体系，反之不成立；（2）外生变量是非随机变量。外生变量与内生变量的关系是：外生变量能够影响内生变量，但内生变量不能影响外生变量。举例说明，（1）均衡条件下的供需模型；（2）凯恩斯的宏观经济模型。1、结构型模型。根据经济学理论或现实经济活动，对某种经济结构或某种经济主体的行为运用数学关系式进行“直接”描述。其过程可表述为经济原型→数学模型为了简单起见，下面直接给出联立方程组模型结构型的矩阵形式(7)BYXU其中，Y为内生变量向量，X为前定变量向量，U为随机误差向量，B为内生变量结构参数矩阵，为前定变量结构参数矩阵（向量或矩阵的具体表示见教科书第211页）。2、简化型模型。所谓简化型模型是指在联立方程组模型中每一个内生变量只由前定变量和随机误差线性表示，或者说内生变量只是前定变量和随机误差的函数。用矩阵表示的过程如下，假设0B，则1111(8)(9)YBXBUBVBUYXV令有称（9）式为模型的简化型。简化型模型与结构型模型的区别是：结构型模型中的方程左端为内生变量，但右端也可能出现内生变量；简化型模型中的方程左端为内生变量，但右端只有前定变量。注意：在已知前定变量未来值的情况下，利用（9）式的样本估计式可直接对模型中的内生变量进行预测。3、递归模型。在结构型模型中，如果方程的结构按如下形式，即111112211221121122222331132231132233kkkkkkyxxxuyyxxxuyyyxxxu则称为递归模型。递归模型的特点是方便估计，无模型的识别问题。第二节联立方程组模型的识别问题一、识别的概念1、一个例子。设凯恩斯宏观经济模型为)3()2()1(210110tttttttttICYuYIuYC将（3）式变换为，)4(tttCYI将（4）式代入（2）式，得)5(210ttttuYCY将（5）式整理，得到如下模型：)6()1(210tttuYC对比（1）式与（6）式，两个C的表达式（均表示消费模型），对消费函数来讲表达式不惟一，究竟哪一个才是表达消费的函数，这就是所谓的识别问题。再例如，同样是上述模型，将（1）式代入（3）式，得)7(11111)1(11110101101110ttttttttttttttuIYuIYuIYYIuYY比较（3）式与（7）式，国民总收入也有两个表达式，那么哪一个才是国民总收入的函数？不仅如此，（3）式为恒定式，而（7）式为一随机函数。由凯恩斯宏观经济模型结构可知，该模型具有合理的经济学解释，即式（1）与（2）的参数，在所对应的经济意义解释上应该是惟一的，但经过一定的数学变换，我们发现事实并非如此。比较式（2）与式（6），可以看出对于样本数据,,tttCYI，均能得到参数0与1的估计0ˆ与1ˆ。现在的问题是0ˆ与1ˆ究竟是投资函数（2）还是消费函数（6）的参数估计？这也是联立方程组模型的识别问题。2、识别的定义。总的原则是看方程组中一个方程与另一个方程有无差异，也就是看每一个方程出现的变量是否一致，如果出现在不同方程里的变量不一样，则方程为可识别，否则就不可识别。关于识别的定义大致有以下几种情况：（1）方程的统计形式是否具有惟一型；（2）零系数规则；（3）结构型与简化型系数之间导出的关系。本教科书仅从（3）给出识别的含义。3、模型的识别问题。只有当联立方程组中每一个（结构）方程是可识别的，则该方程组才是可识别的。反之，当方程组模型中有一个方程不可识别，则整个方程组都不可识别。相比较，以此判断方程组不可识别更容易。4、联立方程组可估计的条件：内生变量的个数=联立方程组中方程的个数。二、识别的类型下面通过几个例子来看利用结构型与简化型系数之间导出的关系所表现的识别类型。1、不可识别。设模型为)3()2(0)1(012101110sidiiisiiidiQQuPQuPQ)4(11121100210110iiiiiiisidiuuPuPuPQQ将（4）式代入（1）式或（2）得111121211121111011111000111121111011iiiiiiiisidiiuuvuuvuuQQQ令则简化型模型为)6()5(2110iiiivQvP由结构型与简化型系数之间的关系可以看出，简化型模型的系数只有两个，而结构型模型的系数有四个，显然要由简化型系数解出结构型系数是不可能的，即每一个结构方程都是不可识别，从而整个方程组不可识别。如果在此基础上引入前定变量，则识别的状况会发生变化。如在上述模型中的供给方程引入价格P的滞后一期变量1tP，即stdtttttstttdtQQQuPPQuPQ21210110类似上述的推导，这时能得到需求函数为可识别，而供给函数仍然是不可识别。2、恰好识别。在上述基础上往需求函数中引入一个前定变量tI（收入），得stdtttttsttttdtQQQuPPQuIPQ212101210同样道理，可得到结构型参数与简化型参数之间的关系，可以看出，由简化型参数能惟一地解出结构型的参数，这就是恰好识别。3、过度识别。继续往需求函数里引入前定变量tR（财富），stdtttttstttttdtQQQuPPQuRIPQ2121013210我们仍然能够得到结构型与简化型参数之间的关系，可看出简化型参数个数多于结构型参数个数，把这种情况称为过度识别（详细说明可见教科书第216页——第219页）。在以上例子的讨论中，可以看出增加前定变量与改变识别状况的关系，即在有条件的情况下，联立方程组模型随着前定变量的增加，模型总是能够实现可识别。正因为如此，通常在实际建模过程中，往往淡化模型的识别问题。三、识别的规则由上述讨论，我们看到通过结构型模型与简化型模型参数之间的关系能够分析模型的识别状况，但从操作的角度讲，不方便判断模型的识别性，因此，需要用专门的方法对联立方程组模型的识别性问题进行判断。设用矩阵形式表示的联立方程组模型为BYXU对于该模型，记M=整个联立方程组模型中内生变量的个数im=联立方程组中第i个方程中内生变量的个数K=整个联立方程组模型中前定变量的个数ik=联立方程组中第i个方程1、识别的阶条件（必要非充分）。（1）设联立方程组模型有M个结构方程，对其中某一个方程进行判断。如果该方程是可识别的，则该方程中没有包含在联立方程组中的变量（包括内生变量和前定变量）个数至少为M-1。如果该方程没有包含的变量个数恰好为M-1，则该方程为（有可能）恰好识别；如果该方程没有包含的变量个数大于M-1，则该方程为（有可能）过度识别；如果该方程没有包含的变量个数小于M-1，则该方程一定不可识别。对阶条件的理解需注意以下几点：（1）阶条件运用的基本前提是：内生变量的个数=联立方程组中方程的个数；（2）“至少没有包含的变量个数为M-1（包括内生变量和前定变量）”，有两种情