博弈论习题解答(浙江大学)

1纳什均衡1．在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡表1.1首先，找出S2的劣战略。对于S2，M策略严格劣于R策略，所以M为严格劣策略。删除后M再找出S1的劣战略，显然对于S1而言，M策略和D策略严格劣于U策略，所以M和D为严格劣策略。删除M与D后找占优均衡为（U,L）即，（4，3）。2．求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡表1.2S2和S3X3Y3S1X2Y2X2Y2X10,0,06,5,44,6,50,0,0Y15,4,60,0,00,0,00,0,0首先看S1选择X策略。如果S2同样选择X策略，那么S3一定选择Y策略；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择X策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果S2选择Y策略，那么S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择Y策略，因此，（X，Y，X）是一个纳什均衡。其次看S1选择Y策略。如果S2选择X策略，S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择X策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果S2选择Y策略，S3选择Y策略是理性的，如果S3选择X，S2将选择X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择Y策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。所以该博弈式的纯战略纳什均衡有4个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。3．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2和3）要在三个项目（A、B和C）中选中一个。三人同时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间Si=｛A，B，C｝。得票昀多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中。参与人的支付函数如下：U1(A)=U2(B)=U3(C)=2U1(B)=U2(C)=U3(A)=1U1(C)=U2(A)=U3(B)=0求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。2和3A3B3C31A2B2C2A2B2C2A2B2C2A12,0,12,0,12,0,12,0,11,2,02,0,12,0,12,0,10,1,2B22,0,11,2,02,0,11,2,01,2,01,2,02,0,11,2,00,1,2C12,0,12,0,10,1,22,0,11,2,00,1,20,1,20,1,20,1,2由上，若参与人1选择A策略。如果参与人2同样选择A策略，那么参与人3选择ABC策略S2S1LMRU4,35,16,2M2,18,43,6D3,09,62,82是无差异的，但均衡策略只能是参与人3选择A策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3选择AB策略是差异的，但均衡策略只能是其选择A，因此（A，B，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C策略；同样，如果参与3选择C策略，参与人2也将选择C策略。因此，（A，C，C）是一个纳什均衡。若参与人1选择B策略。如果参与人2选择A策略，那么参与人3将选择A或C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人2的昀优策略是选择B，当其选择A策略时，参与人2将选择B策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3将选择ABC是无差异的，但其选择A和C都不满足纳什均衡，因此当其选择A和C时，参与人1将选择A或C，因此有当参与人3选择B策略时，才存在纳什均衡（B，B，B）。如果参与人2选择C策略，参与人3也将选择C策略；但参与人3选择C策略时，参与人2将选择B策略，因此，这时不存在纳什均衡。若参与人1选择C策略。如果参与人2选择A或B策略，那么参与人3将选择C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人1的昀优策略是选择B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C策略；因为这时的AB策略都不满足纳什均衡，因此，存在一个纳什均衡（C，C，C）。所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有5个，分别是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B，B，B）（C，C，C）。4．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡表1.3S2S1LMRT7，22，73，6B2，77，24，5首先考虑纯纳什均衡。如果S1选择T战略→S2将选择M战略→S1选择B战略→S2将选择L战略→S1选择T战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻找混合战略纳什均衡。因此，S1可以对T与B策略进行混合，而S2则可以对L、M、R中的任意至少两个策略进行选择，因此，设S1选择T策略的概率为α，S2选择L策略的概率为β，M策略的概率为γ，则可能有以下情况：（1）S2选择L、M和R的混合战略。对于S2而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：()()()()⎩⎨⎧−+=−+−+=−+αααααααα156127127172该方程组无解，所以S2无法同时采用L、M和R同时混合的战略（2）S2选择L和M混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：()()αααα−+=−+127172，解得：α＝1/2。但是将α＝1/2代入等式可得效用为()αα−+172＝()αα−+127＝9/2；同时，将α＝1/2代入()αα−+156可得其值等于11/2。9/211/2表明L和M的混合战略的期望效用小于R战略的期望效用，因此，这一混合战略也不满足纳什均衡。（3）S2选择L和R混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，3因此，需要满足以下方程：()()αααα−+=−+172156，解得：α＝1/3。同样，将α＝1/3代入等式可得()()αααα−+=−+172156＝16/3；将α＝1/3代入()αα−+127可得其值等于13/3。16/313/3表明L和R的混合战略的期望效用大于M战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳什均衡。另一方面，计算S1的混合战略，需要满足以下等式：()()ββββ−+=−+172127，解得：β＝1/2，因此这一混合战略的纳什均衡为⎟⎠⎞⎜⎝⎛++RLBT21213231，。（4）S2选择M和R的混合战略。显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，对于S2来说，如果放弃了L战略，那么对S1而言T战略将是劣战略，其将直接选择B战略，这时S2只能选择R战略，S1的反应只可能是L战略，这显然与假设矛盾。5．模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令，如果一个打败另一个人，赢者的效用为1，输者的效用为－1；否则效用为0。给出以上博弈的战略式描述并求出所有的纳什均衡。（1）以上博弈的战略式表述为21杆子老虎鸡虫子杆子0，01，－10，0－1，1老虎－1，10，01，－10，0鸡0，0－1，10，01，－1虫子1，－10，0－1，10，0（2）显然，这一博弈战略并不存在纯纳什均衡。假定参与人1选择杆子，老虎，鸡和虫子四种战略的混合战略，其概率分别为a，b，c和d，且a＋b＋c＋d＝1。如果这四种战略同时混合，必须使得这四种战略的期望效用相同，因此，必须满足以下四个方程：⎪⎩⎪⎨⎧−=−−=−−=−cabcbcacacdb解得：a＝b＝c＝d，所以a＝b＝c＝d＝1/4。同理可得参与人2的战略，所以该博弈的唯一混合策略纳什均衡是参与者以1/4的概率随机选择各自的四个纯战略。6．一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在边上（每个人只知道自己有多少钱），突然一阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱是属于自己的，他们为此发生了争执，昀后请来一位律师。律师宣布这样的规则，每个人将自己的钱数写在纸上，然后将纸条交给律师，如果所有人要求的钱数加总不大于已有钱的总数，每个人得到自己要求的那部分，剩余部分归律师；如果所有人要求的钱加总大于已有钱的总数，则所有的钱归律师所有。写出这个博弈每个参与人的战略空间与支付函数，求出所有的纳什均衡。（假设钱的总数为M，M为共同知识）。博弈参与人的战略空间是{}120CCxRxM==∈≤≤，参与人i的支付函数是：iu=ix，ixM≤∑0，ixM∑4因此，对于参与人i来说，只要采用ijjixMx≠=−∑都能实现自己的昀大收益，也就是说，在该博弈中有着多个纳什均衡，所有使得ixM=∑，0ixM≤≤成立的战略组合都是该博弈的纯战略纳什均衡。7．考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2W22W1，则问：a．写出以上博弈的战略式描述b．求出以上博弈的所有纳什均衡（1）该博弈的战略式描述为乙甲申请企业1申请企业2申请企业12W121，WW1，W2申请企业2W2，W12W222，W（2）若甲选择企业1，乙将选择企业2；若乙选择企业2，甲必然选择企业1，因此，（企业1，（企业2，企业1））是一个纯战略纳什均衡。若甲选择企业2，乙将选择企业1；若乙选择企业1，甲必然选择企业2，因此，（企业2，（企业2，企业1））也是一个纯战略纳什均衡。（3）假定甲选择企业1的概率为α，选择企业2的概率为1α−；乙选择企业1的概率为β，选择企业2的概率为1β−，则甲选择企业1的期望收益为()1112WWββ+−，选择企业2的期望收益为()2212WWββ+−，由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为：21221β−=+，221121β−−=+。同理可得甲选择两家企业的概率：21221α−=+，221121α−−=+。因此，昀后的混合均衡是两学生均以212221,2121−−⎛⎞⎜⎟++⎝⎠的概率决定向企业1与企业2提出申请。8．考虑存在事前交流的性别战博弈。在丈夫决定去看足球还是芭蕾之前，丈夫有机会向妻子传递以下信息：我们在足球场见面，或者我们在芭蕾馆见面。当以上信息交流完成以后，两者同时决定去足球场还是去芭蕾馆。博弈支付如下：如果两者在足球场见面，则丈夫获得3，妻子获得1；如果两者在芭蕾馆见面，则丈夫获得1，妻子获得3；在其他条件下两者的支付都是0。a．给出以上博弈的战略式描述b．求出所有的纯战略纳什均衡，并讨论哪个均衡更加合理5假定丈夫向妻子传递了信息，由于他不一定必须遵守这个决定，因此，其战略可以有四种：()1CFfFgGfGg=，，，。在此第一个大写字母表示丈夫给出的信息是去足球场，而实际上也是去了足球场，其他同理。而妻子的战略空间是：()2Cfffggfgg=，，，，其中第一个字母表示丈夫建议去足球场下妻子做出的决策，而第二个字母表示丈夫建议去芭蕾舞馆的情况下妻子做出的决策。因此战略式表述是：妻子丈夫fffggfggFf3，13，10，00，0Fg0，00，01，11，1Gf3，10，03，10，0Gg0，01，10，01，1这个博弈的纯战略均衡有很多，比如()Fggg，，丈夫发出在足球场见面的信息，但是他去了芭蕾馆，而妻子则不管丈夫什么建议都去了芭蕾馆；()GfGf，，丈夫发出去芭蕾馆见面的信息，但是他去了足球场，而妻子也去了足球场；()Fffg，，丈夫发出去足球场见面的信息，他也去了足球场，妻子也跟着去了足球场，即她跟着丈夫的建议而行动。这个均衡是一个聚点均衡，是更合理的均衡。9．（库诺特博弈）假定有n个库诺特寡头企业，每家企业生产成本函数为cq，市场逆需求函数是P=a-Q，其中P是价格，Q=Σqi是总供给，a是大于c的常数。企业i的战略是选择自身产量qi昀大化自己的利润，即其他企业的产量q-i；选择自身产量昀大化自己的利润。求解以上博弈的纳什均衡，以及均衡产量和价格如何随n的变化而变化。根据已知条件可以设厂商i的利润函数为：iiicqpq−=π。将∑