浅解心脏线

浅浅解解心心脏脏线线作者：尹肃、孙康200911181002、200911181028摘要本文通过查找文献资料并进行一定的分析，对心脏线的定义，方程，性质，快速画法以及应用进行简单介绍。关键词心脏线逐点算法Morley定理引言心脏线（Cardioid）是deCastillon在1741年的《PhilosophicalTransactionsoftheRoyalSociety》发表的；意为“像心脏的”。心脏线是外摆线的一种，亦可作为圆的包络线，用逐点算法可快速生成心脏线。1.心脏线的定义1.圆上定点在动切线上射影的轨迹2.一个尖点的外摆线3.两圆过某一交点的动割线两端处切线交点的轨迹2.心脏线的方程在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。在极坐标系中的方程为：3.心脏线的图像这是四个朝着不同方向的心脏线。4.心脏线的性质1.三角形的内切心脏线的中心O，总位于其Morley三角形的边上，当且仅当心脏线与三角形某边双重相切时。如图，注；Morley定理一个三角形的六条内角三等分线,与每边相邻的两线各交于一点,这三点是一个正三角形的顶点2.心脏线可作为圆的包络线。设一心脏线的歧点为A、基圆是圆O。对于此心脏线上任一点P，若Q点是P点在基圆上的对应点，亦即:Q是的垂直平分线与基圆相切的切点，则=而且此心脏线过P点的切线就是过P而与PQ垂直的线。以Q为圆心、为半径作一圆，此圆必经过A点与P点，而且此圆过P点的切线也是过P而与垂直的直线。由此可知:以Q为圆心、为半径的圆必与上述心脏线相切于P点。前段所提的性质，可以作如下的解释:给定一定圆O及其圆周上一点A，若对于圆O上所有点Q，以Q点为圆心、为半径作一圆，则所有此种圆都与以A为歧点、圆O为基圆的心脏线相切;或者说，以A为歧点、圆O为基圆的心脏线是上述所有圆的包络线(envelope，见图)。3.心脏线是一种外摆线对于以A为歧点且圆O为基圆的心脏线上每个点p都可在基圆上找到一个对应点Q，使得A点与P点对基圆O过Q的切线QN对称，或是说，P点就是A点对切线QN的对称点;如果我们进一步作出基圆O对切线QN的对称图形，则所得图形是一个圆，它通过P点而且与基圆O相切于Q点(见图四)。因为此圆的半径与基圆的半径相等而且=，所以，此圆上弧PQ的长与基圆上弧AQ的长相等。这些现象显示什么意义呢?我们说明如下。图四取一个大小与基圆相同的滚动圆，让它沿着基圆的外部作没有滑动的滚动，滚动圆上选定一个定点，此定点在滚动前的位置是A。图四表示:当滚动圆滚动到与固定圆(即基圆)相切于Q点时，滚动圆上的定点就到达P点。由此可知:所谓心脏线，乃是当滚动圆与固定圆的半径相等时，滚动圆上的定点所描绘的曲线，这是一外摆线。将心脏线视为外摆线，还有另一种描述方法。在图五中，设P是以A为歧点而圆O为基圆的心脏线上一点，Q是基圆上一点且点A与点P对基圆过Q的切线成对称。设直线PQ与基圆交于另一点R，直线AP与基圆交于另一点M。以M为圆心、基圆的直经为半径画一圆，此圆必通过P点且与基圆相切于R点，我们将证明:基圆O上的弧AQR的长与大圆M上的弧PR的长相等。为什么呢?图五因为与平行，所以，=。又因为大圆M的半径是基圆O的半径的两倍，所以，大圆M上的弧PR的长等于基圆O上的弧QR的长的两倍。另一方面，因为直线QQ'通过等腰三角形的顶点O且平行其底边，所以，直线QQ'平分的顶角的外角，亦即:=。由此可得=。于是，在基圆O上，弧AQ与弧QR的长相等。将上述二等式结合，即得:大圆M上的弧PR的长等于小圆O上的弧AQR。这个现象的意义可说明如下。取一个半径为基圆O的直径的滚动圆，让它沿着基圆的外部作没有滑动的滚动(请注意:两圆内切)，滚动圆上选定一个定点，此定点在滚动前的位置是A。图四表示:当滚动圆滚动到与固定圆(即基圆)相切于R点时，滚动圆上的定点就到达P点。由此可知:前述的心脏线，就是此滚动圆上的定点所描绘出来的曲线。4.心脏线是一垂足曲线在图六中，设有一个以A点为歧点的心脏线，是此心脏线上通过A点的一弦，直线与基圆O交于另一点M。作基圆O的一直径，使得而且是圆O的一个内接四边形。因为的一组对边与平行且等长，所以，是平行四边形。于是，。又因为是圆内接四边形，所以，。由此可得故是等腰三角形，。另一方面，因为基圆O过Q的切线必与及垂直，所以，此切线与的交点N乃是的中点。由此可知：点P是点A对基圆O过Q之切线的对称点。图六同理，点P'是点A对基圆O过Q'之切线的对称点。若以A点为伸缩中心将基圆O放大二倍，则放大圆的圆心是图二中的B点且半径为2a。若直线AQ与放大圆交于另一点QO，则因为，所以，放大圆过QO的切线与基圆过Q的切线QN平行。因为=，=，所以，QN线与直线QOP平行。由此可知:直线QOP就是放大圆过QO的切线。因为。由此可知:前述心脏线上每个点P都是点A至放大圆的某一切线的垂足。若S为一曲线而A为一定点，则由点A至曲线S的所有切线的垂足所成的图形，称为曲线S对点A的垂足曲线(pedalcurve)。根据前段的说明。可知:心脏线是一圆对其圆周上一定点的垂足曲线。5.心脏线是一焦线在图七中，P是以A为歧点、圆O为基圆的心脏线上一点，的垂直平分线与基圆相切于Q。另一方面，有一个与基圆同样大小的滚动圆，沿着基圆的外部作没有滑动的滚动。当滚动圆与基圆的切点由A滚动到变成Q时，滚动圆上的定点也由A移动至P，此时，滚动圆的圆心是J，而且直线OQ与滚动圆的另一交点为I。因为基圆与滚动圆的半径相等，而且分别在两圆上的弧AQ与弧QP的长度相等，所以，可得。若在上选取一点C使得，则。由此得。这个等式代表什么意义呢？我们说明如下。图七首先注意到:的长等于基圆之半径的3倍。若我们以O为圆心、为半径作一圆，则C是此大圆上的一个定点，亦即:不会随着P点的移动而改变位置。另一方面，不论P是心脏线上任何点，对应的I点都是此大圆与滚动圆的切点。因为直线OI是此大圆过I点的法线，而直线CI、直线PI等二直线与法线OI的夹角相等，所以，直线PI就是直线CI在该大圆上反射后所得的直线。因为心脏线过P点的切线就是与垂直的直线PI，也就是说，过C点的每条直线在该大圆上反射后所得的直线，都是心脏线的切线。或者说，该心脏线是过C的所有直线在大圆上反射后，所得的所有直线的包络线。设S为一曲线而F为一定点，若过F点的所有直线在曲线S上反射后，所得的所有直线可包络出一曲线，则此包络线称为曲线S以F为辐射点(radiantpoint)的焦线(causticcurve)。所以，依前段的说明，图六中以A为歧点、圆AQB为基圆的心脏线，就是三倍大圆以其上的C点为辐射点的焦线。6.心脏线的弧长与面积因为心脏线是一外摆线，所以，心脏线的弧长与面积都可以根据外摆线的一般结果来说明。若固定圆的半径是滚动半径的k倍，则外摆线的一拱之长为，其中a是滚动的半径。若k=1则所得的外摆线就是心脏线，而且整个心脏线就只是一拱。由此可知：若基圆的半径为a，则所得心脏线的全长为16a。若固定圆的半径是滚动圆半径的k倍，其中k是正整数，则外摆线所围的区域的面积为，其中a是滚动圆的半径。由此可知：若基圆的半径为a，则所得心脏线围出的面积为。5.心脏线的快速画法：逐点算法结论：心脏线作为一种特殊曲线，它的定义多种多样，并且有许多有趣的性质（如与Morley定理的联系）与结论。参考文献：1.《心脏线的逐点生成算法》林芳宁夏大学学报（自然科学版）2006年3月第27卷第一期文章编号：0253-2328(2006)01-0025-022.《心脏线》赵文敏中数网3.《Morley定理的一种极限形式》刘可育《数学通报》2007年03期