论述向量在中学数学中的应用l

论述向量在中学数学中的应用高中新教材新增了平面向量的内容并作为独立的章节来学习后，就成为高考的一个新内容，也是高考的热点。平面向量在图象平移、定比分点、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代数、三角函数、解析几何中应用都很广泛，下面笔者就此进行探讨。向量的引入为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。向量具有很好的“数形结合”特性。它是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。它可以使图形量化，使图形间的关系代数化。向量的应用1.利用向量证明等式对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。例1.已知α、β是任意角，求证：。证明：在单位圆上，以x轴为始边作角α，终边交单位圆于A，以x轴为始边作角β，终边交单位圆于B，有所以又有即成立。2.利用向量证明不等式当求解问题中（式子）含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：，构造向量解之。例2.是正数。求证：。证明：设所以。由数量积的坐标运算可得：。又因为所以成立。3.利用向量求值对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系，求出所需量的值。例3.已知，求锐角α、β。解：由条件得设则由即则即同理（因为α、β为锐角）。4.利用向量求函数值域巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。例4.若，求的最小值。解：构造向量由即所以当且仅当时，有最小值。例5.设x是实数，求的最小值。解：因为故可设所以当时等号成立。所以当时，取得最小值。5.利用向量解决解析几何问题平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考所考查的热点，解此类题应注重从向量数量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。例6.过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知。（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（2）是否存在这样的直线，使？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。解：（1）设的方程为，代入得当时，设则设，由，再将代入得（*）时，满足（*）式。当斜率不存在时，易知满足（*）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。（2）因为，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。当k不存在时，A、B坐标分别为，不满足上式。又化简得此方程无实数解，故不存在直线使OAPB为矩形。所以，不存在满足条件的直线l。无论在初等代数、初等几何还是三角中,利用向量的性质和运算法则,构造合理的向量,对证明不等式而言,又多了一个有力工具。这不仅拓宽了我们的解题思路和方法,而且加深了我们对不等式的理解和认识,优化了我们的学习策略,使得学习如鱼得水,更上一层楼。