话说巧思妙解(直线斜率公式的应用)

1浅议直线斜率公式的应用贵州省岑巩县岑巩中学蒋世军摘要：直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的本质属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等-----都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。关键词：直线斜率公式应用下面就问题举例说明：一、求直线的倾斜角例1：已知直线l1经过两点A(－23，1)、B(6，－3)，直线l2的斜率为直线l1的斜率的一半，求直线l2的倾斜角θ.分析：先利用过两点的斜率公式求l1的斜率，再求得l2的斜率，从而求得θ.解：设直线l1、l2的斜率斜率分别为k1、k2，则由已知可求得)3(16321k3-2，∴k2＝3-即tanθ＝－3，∵θ∈[0，＋∞)∴θ＝32点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用.根据斜率求倾斜角时，在tanθ＝k中，θ的取值与k的正负有关，当k≥0时，θ2,0，当k＜0时，θ,2，另外要注意斜率不存在时，直线的倾斜角为2。二、证三点共线例2：求证：A(1，3)、B（5，7）、C（10，12）三点在同一条直线上。分析：要证A、B、C三点共线，只需证直线AB,AC的斜率相等。证明：∵11537ABK1110312ACK∴ACABKK又∵直线AB,AC有共同的端点A。∴A、B、C三点在同一条直线上。例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P、Q两点，自Q点向抛物线的准线作垂线，垂足为'Q，求证：P'Q过抛物线的顶点。2证明：设抛物线方程为y=2px(p0)，则焦点F的坐标为（0,2p），准线方程为x=-2P,可设过焦点F的直线方程为x=my+2P解方程组222pmyxpxy0222ppmxy解得pmmy)1(21pmmy)1(222-px将得代入抛物线方程pxyyy2,221pmmx2)1(221pmmx2)1(222所以P))1(,2)1((222pmmpmm))1(,2(21pmmpQ因此)1(22'mmkkoQop所以P、O、Q三点共线。即直线P'Q过抛物线的顶点O点。评注：两直线AB、AC的斜率相等A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线两直线AB、AC的斜率相等（斜率存在）或都不存在。三、求函数的值域（最值）例4：求函数2cos1sin5y的值域。解：若将y看成是动点M（cos，sin5）和定点A（-2，-1）连线的斜率，问题就变得较简单。不妨设x=cos，y=sin5消去得1522xy（如右图）当MA与椭圆相切时，得出斜率的最大值与最小值。令切线的斜率为k，则切线的方程为：)2(1xkyOQyF(2p,0)xPQ1AxMyM0M3将其方程与椭圆方程消去y得：0444)24()5(2222kkxkkxk（*）因此该方程的判别式)444)(5(4)24(2222kkkkk08080602kk解得2,3221kk所以函数2cos1sin5y的值域是2,32。四、不等式证明和解不等式中的应用例5：已知a、b、m都是正数，并且ba求证：bambma（旧人教版第二册6.3节12P例2）分析：对问题我们可以把mbma看成是经过P（b，a），Q（-m，-m）两点的直线的斜率。即mbmakPQ，把ba看成是经过点P（b，a）、o（0,0）两点的直线的斜率。即babakpo00。（如图）证明：如图，ba0点P（b，a）在第一象限且必在直线y=x的下方，又因为m0，所以点Q（-m，-m)在第三象限且必在直线y=x上，连结OP、PM，则直线OP的斜率为ba，直线PQ的斜率为mbma；因为直线PQ的倾斜角大于直线OP的倾斜角。所以bambma例6：关于x的不等式)2(12xax的解集为R，求a的取值范围。分析：令121xy为斜率k1=2直线方程，)2(2xay是过点A（2,0）且斜率k2=a的直线方程。由于不等式)2(12xax的解集为R。即xR时，y12y只能有k1=k2即a=2。解:略。五、比较大小例7：若55ln,33ln,22lncba，则（）A.B.C.D.（高考题）PxyQOy=x4解：因为00lnlnxxxx，表示函数xyln的图象上的点（x，y）与坐标原点O连线的斜率，如图，则OAkaOBkbOCkC由图象可知：OBOAOCkkk即，选C。说明：也可以考察函数xxyln的单调性，即利用它的导数来严格求解，但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线xyln上的点与原点的直线的斜率，问题便可直观、简捷地解出，但图形须相对准确。六、构造直线斜率解决数列问题数列是一种特殊函数，他的定义域是自然数集N或N的子集，任何一个数列都可以对应的“还原”为一个函数。从图像上看，表示数列的点在对应函数的图像上，高中教材中比较典型的等差数列的通项公式：dadndnaan11)1(，若令nxayn,，则“还原”为一次函数bkxy。其中斜率dk，截距dab1,那么表示数列的点),(nan必在直线bkxy上，这种“还原”就为我们用直线方式观察等差数列问题创造了条件。例8：在等差数列na中，21,683aa，求d1及a。解：从函数的观点来看，在等差数列中，通项na是自变量n的一次函数，则两点），（3a3和),8(8a，即（3,6）和（8,21）都在一次函数所对应的直线上，直线斜率为338ak38a由直线方程的点斜式可得：)3(36nan整理得：)1(3nan所以01a3d总之，对直线斜率公式的应用比较广泛，仅从以上例题可以看出，运用直线斜率公式解决某些数学问题方便简捷。