网孔分析法和节点分析法

《电路基础简明教程》电子教案讲课内容§3－1网孔分析法第三章网孔分析法和节点分析法第三章网孔分析法和节点分析法在第二章，我们讨论了简单电阻电路分析，不用求解联立方程，就可以求得电路中的某些电压电流。本章介绍线性电阻电路最常用的两种分析方法，适合于求解比较复杂的线性电阻电路。在第一章介绍的2b法，支路电流法和支路电压法可以解决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求解的方程数目太多，给手算求解带来困难。本章利用独立电流或独立电压作变量来建立电路方程，可以减少联立求解的方程的数目。§3－1网孔分析法在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电阻构成的电路，可以b个支路电流变量来建立电路方程。在b个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流变量来建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，它的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得到网孔电流后，用KCL方程可求出全部支路电流，再用VCR方程可求出全部支路电压。000632521431iiiiiiiii326215314632521431000iiiiiiiiiiiiiiiiii一、网孔电流若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6条支路和4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。支路电流i4、i5和i6可以用另外三个支路电流i1、i2和i3的线性组合来表示。326215314632521431000iiiiiiiiiiiiiiiiii电流i4、i5和i6是非独立电流，它们由独立电流i1、i2和i3的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i1、i2和i3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，共有(b-n+1)个网孔电流。二、网孔方程3S4466332S6655221S445511uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR将以下各式代入上式，消去i4、i5和i6后可以得到326215314iiiiiiiii网孔方程3S314326332S326215221S31421511)()()()()()(uiiRiiRiRuiiRiiRiRuiiRiiRiR1S34251541)(uiRiRiRRRS236265215)(uiRiRRRiR3S36432614)(uiRRRiRiR以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分别为将网孔方程写成一般形式S3333323213122S32322212111S313212111uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR其中，R11,R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。例如R11=R1+R4+R5,R22=R2+R5+R6,R33=R3+R4+R6。Rkj(kj)称为网孔k与网孔j的互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，例如R12=R21=R5,R13=R31=R4。当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23=R32=-R6。uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。绕行方向由-极到+极的电压源取正号；反之则取负号。例如uS11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。S3333323213122S32322212111S313212111uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR5)-(3.....................S221122S222212111S1212111mmmmmmmmmmmuiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。具有m个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式为三、网孔分析法计算举例网孔分析法的计算步骤如下1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针(或反时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。3．求解网孔方程，得到各网孔电流。4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。5．用VCR方程，求得各支路电压。例3－1用网孔分析法求图示电路各支路电流。解：选定两个网孔电流i1和i2的参考方向，如图所示。用观察电路的方法直接列出网孔方程V10)21(1V5)1()11(2121iiii整理为A103A522121iiiiA1A55A3112310151iA3A515A3112101522i解得各支路电流分别为i1=1A,i2=-3A,i3=i1-i2=4A。A103A522121iiii例3－2用网孔分析法求图示电路各支路电流。解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。用观察法列出网孔方程V6V25)163()6()1(V12V18)6()362()2(V18V6)1()2()212(321321321iiiiiiiiiA19106A66112A1225321321321iiiiiiiii整理为A1A3A4A3A2A1236215134321iiiiiiiiiiii解得四、含独立电流源电路的网孔方程当电路中含有独立电流源时，不能用式(3－5)来建立含电流源网孔的网孔方程。若有电阻与电流源并联单口，则可先等效变换为电压源和电阻串联单口，将电路变为仅由电压源和电阻构成的电路，再用式(3－5)建立网孔方程。若电路中的电流源没有电阻与之并联，则应增加电流源电压作变量来建立这些网孔的网孔方程。此时，由于增加了电压变量，需补充电流源电流与网孔电流关系的方程。综上所述，对于由独立电压源、独立电流源和电阻构成的电路来说，其网孔方程的一般形式应改为以下形式mmmmmmmmmmmmmuuiRiRiRuuiRiRiRuuiRiRiRSiS221122SiS22222212111SiS111212111.....................其中，uiskk表示第k个网孔的全部电流源电压的代数和，其电压的参考方向与该网孔电流参考方向相同的取正号，相反则取负号。由于变量的增加，需要补充这些电流源(iSK)与相关网孔电流(ii,ij)关系的方程，其一般形式为jikiiiS例3－3用网孔分析法求图示电路的支路电流。解：设电流源电压为u，考虑了电压u的网孔方程为补充方程V10)2(V5)1(21uiuiA721ii求解以上方程得到V2A4A321uiiA7A522121iiii例3－4用网孔分析法求解图示电路的网孔电流。解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必列出此网孔的网孔方程。A10)3()35(V20)1()1(213231iiuiiuii代入i3=2A，整理后得到A1A2882121iiii解得i1=4A,i2=3A和i3=2A。只需计入1A电流源电压u，列出两个网孔方程和一个补充方程2003年春节摄于成都人民公园