2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题十-有关切线问题的辅助线作法-

2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题十有关切线问题的辅助线作法_1/5微专题十__有关切线问题的辅助线作法__[学生用书B44]一切线的性质(教材P101习题24.2第5题)如图1，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点．求证：AP＝BP.图1教材母题答图证明：如答图，连接OP.∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理，得AP＝BP.【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．[2018·济宁]在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图2所示)面积的方法．现有以下工具：①卷尺；②直棒EF；③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB)．图2(1)在图2①中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹，不写画法)；2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题十有关切线问题的辅助线作法_2/5(2)如图②，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10cm，请你求出这个环形花坛的面积．解：(1)如答图①，点O即为所求；变形1答图(2)如答图②，设切点为C，连接OM，OC.∵MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM＝CN＝5(cm)，∵OM2－OC2＝CM2＝25，∴S圆环＝π·OM2－π·OC2＝25π(cm2)．[2018·天水]如图3所示，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC.(1)求证：∠BAC＝∠BCP；(2)若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的角平分线交AC于点D，你认为∠CDP的大小是否会发生变化？若变化，请说明如何变化；若没有变化，求出∠CDP的大小．图3变形2答图解：(1)如答图，连接CO.∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥CO，即∠OCP＝90°，∴∠PCB＋∠BCO＝90°，2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题十有关切线问题的辅助线作法_3/5∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠PCB＝∠CAO，即∠BAC＝∠BCP；(2)∠CDP的大小不发生变化．∵∠CDP＝∠A＋∠APD，∠BOC＝2∠A，∠CPO＝2∠APD，∠PCO＝90°，∴∠CDP＝12∠BOC＋12∠CPO＝12(∠BOC＋∠CPO)＝12(180°－∠PCO)＝45°.二切线的判定(教材P101习题24.2第4题)如图4，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．图4教材母题答图证明：如答图，连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．[2017·乐山]如图5，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD.试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由．2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题十有关切线问题的辅助线作法_4/5图5变形1答图解：PD是⊙O的切线．理由如下：如答图，连接OP，∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°，∴∠POD＝60°，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°，∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°，∴∠OPD＝90°，∴PD是⊙O的切线．已知：如图6，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，弦EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA＝∠B.求证：(1)MC是⊙O的切线；(2)△DCF是等腰三角形．图6变形2答图证明：(1)如答图，连接CO，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°∵∠MCA＝∠B，∴∠ACO＋∠MCA＝90°，∴∠MCO＝90°，∴OC⊥MC，∴MC是⊙O的切线；2019秋人教版九年级数学上册同步练习题：微专题十有关切线问题的辅助线作法_5/5(2)∵EG⊥AB于H，∴∠FHB＝90°，∴∠B＋∠BFH＝90°，∵∠BFH＝∠DFC，∠OCB＝∠B，∴∠OCB＋∠DFC＝90°，由(1)得OC⊥MC，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB＋∠DCF＝90°，∴∠DFC＝∠DCF，∴△DCF是等腰三角形．[2017·南充]如图7，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．图7变形3答图解：(1)证明：如答图，连接OD，CD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点，∴DE＝12BC＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.∴⊙O的直径为6.