谈等效变换在物理解题中的应用

谈等效变换在物理解题中的应用等效法亦称“等效变换法”，是科学研究中常用的思维方法之一，其实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。因此应用等效法时往往是用简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。掌握等效方法及应用，体会物理等效思想的内涵，有助于开阔学生的视野，提高学生解题的灵活性，培养学生的发散思维能力和创新思维能力，为终身的学习、研究和发展奠定基础。下面以中学物理教学中经常遇到的等效问题谈谈等效变换法在物理解题中的应用，并希望对您的教学和学习有所帮助。1物理图形的等效变换例1一块均匀半圆薄片电阻合金片P，先将它按图1甲方式接在A、B之间，测得它的电阻为R，然后按图1乙方式接在电极C．D之间，这时P的电阻为________。解析：虽然不能根据电阻定律来直接计算电阻，但可以用等效转换的方法来求电阻。甲图连接方式可以看作是电阻均为R′的两个相同电阻并联，则R′=2R；乙图连接方式可以看作是电阻均为R′的两个相同电阻串联，因此C、D两点间的总电阻为RCD=2R′=4R。点评：本题从效果相同中寻找等效关系，利用分解的方法一分为二，从而快速找到两部分的串并联关系。2物理过程的等效变换例2如图2所示，已知回旋加速器中，D形盒内匀强磁场的磁感应强度B=1．5T，盒的半径R=60cm，两盒间隙d=1．0cm，盒间电压U=2．0×10４V，今将α粒子从近于间隙中心某点向D形盒内以近似于零的初速度垂直B的方向射入，求粒子在加速器内运行的总时间。解析：带电粒子在回旋加速器中转第一周，经两次加速，速度为v1，则根据动能定理得：2qU=mv12设运转n周后，速度为v，则：n·2qU=mv2①由牛顿第二定律，qvB=m②由①②得粒子转动n=周粒子在加速器内运行的总时间：t=tB+tE,在磁场中运动每周的时间相等，则在磁场中的总时间为：tB=nT=n·=·=而在间隙处电场中运动时间为tE，因每次时间不等，且次数又多，分段算将十分繁琐，我们可将各段间隙等效“衔接”起来，展开成一条直线，则粒子在电场中运动就可等效为初速度为零的匀加速直线运动，由公式：tE=，且v0=0，vt=，a=得：tE=，故：t=tB+tE=·（+d）=4．5×10－５×（0．94＋0．01）s=4．3×10-5s。点评：对于一些间断性的运动，而每一段运动中的特点又是我们常见的运动形式，可以将全过程中的运动形式等效为一个完整的运动，这样就可以达到化繁为简的目的。3电源的等效变换例3如图3甲所示，电源电动势为E，内电阻为r，R1、R2、R3、R4为阻值未知的电阻，若a、b两点接理想的电压表时示数为U，接阻值为R的电阻时，通过的电流为I，则接理想的电流表时的示数为（）A．B．C．D．解析：因为在整个变化过程中，a、b两点之外的其它部分均没有变化，所以可以将a、b以外的其它部分等效为一个电动势为E′，内电阻为r′的等效电源，如图3乙所示。当a、b两点间接理想电压表时：U=E′当a、b两点间接电阻R时：当a、b两点间接理想电流表时：由以上三式解得：，所以正确答案为B。点评：替代法的思想是等效的思想，可以是利用等效电源，也可以是利用等效外电路，关键是找到在整个变化过程中保持不变的部分。在较复杂的直流电路问题中，等效变换法不失为解决问题的一种有效方法。4物理情景的等效变换例4如图4所示，面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的密度的1/2，质量为m。开始时，木块静止，有一半没入水中，现用力F将木块缓慢地压到池底，不计摩擦，求木块从刚好完全浸入水中到停在池底的过程，池水势能的改变量。解析：将物理情景等效为池底一与正方体木块体积相同的正方体“水块”向上移到水面上，所以池水的势能的改变等于此“水块”重力势能的增量，即ΔEP=2mg（H－a）。点评：本例中由于液面上升的高度几乎为零，乍一看水的重力势能好像不变，但细看你就会发现随着木块的下移，有一个“水块”总在随时填补上面的“空穴”，这个“水块”的重力势能在不断增加，所以池水的势能在增加。5单摆摆长的等效变换例5设有如图5所示的双线摆，两条细线AC和BC的长度分别为L1和L2。求此摆球在纸面前后做微小摆动时的振动周期。解析：连接A、B，过C点作竖直线交AB于D，过C点作AB的垂线交AB于E。显然，小球在以E为圆心，CE为半径的圆弧上作微小振动。因此，CE的长度即为双线摆的等效摆长。由图5可以看出：小球不再在竖直平面内摆动，而是在过CE且垂直于AB的平面内摆动，其等效重力加速度为g′=gcosβ。故双线摆的周期为：，又因为：CE=CDcosβ，所以：。点评：求解复线摆的周期时，关键是要找到等效悬挂点和等效重力加速度，要判断等效悬挂点，则必须明确摆球的摆动平面。6物理模型的等效变换例6如图6所示，一条河宽d=120m，河两岸AB．CD相互平行，一大人在岸上运动的最大速度v1=5m/s，在河中运动的最大速度v2=3m/s,某时刻大人在AB岸边上P点处，发现正对岸下游240m处岸边的Q点有小孩正在河边玩耍，为防小孩落水，求大人由P点到达Q点的最短时间t。（设水不流动）解析：本题可设大人由P沿河岸AB运动到岸边M点，再从M点下水沿直线MQ到达Q点时间最小。则可将大人的运动过程等效为光从P直射到M，再折射到Q的运动过程。因为光从P经M折射到Q时间最短。则：光的折射率,且,所以，即β=37?，则MQ距离为：，PM距离L=240m－d×tanβ=150m,所以：。点评：将一种不常见的复杂物理模型等效变换为另一种常见的简单物理模型，是物理思维的一种重要的表现形式，对于培养创新能力，提高思维的灵活性与开放性具有重要的作用。7重力加速度的等效变换例7如图7所示，在竖直平面内有一场强E=104N/C的水平匀强电场，一质量m=0．04kg，带电量为q=3×10５C的小球，用长l=0．4m的细绳拴住悬于电场中O点，当小球平衡时，问在平衡位置以多大的线速度释放小球，则能使之在电场中做竖直平面内的圆周运动？解析：因为小球在运动过程中所受的重力与电场力始终保持不变，故可以将它们的合力视为等效重力G′，，等效重力的方向与竖直方向成的夹角，α=37?。所以小球作圆周运动过程中的等效最高点为过O点与竖直方向成α=37?的B点，设小球在等效最高点B的最小速度为v，由，得：。从A到B的过程中对小球由动能定理得：解得在A点的最小速度点评：等效场力或等效重力加速度是带电粒子在复合场中运动的一种常见形式，一般是将重力和电场力的合力作为等效重力，从而求出等效重力加速度的大小和方向，其它解法与重力场中物体的运动规律相同。8虚与实的等效变换例8如图8所示，在水平面上有一辆运动小车，车上固定一个盛有水的杯子，杯子的直径为L，当车向右做加速度为a的匀加速直线运动时，水面呈图示状态，求液面左右两端的高度差h。解析：乍看起来不知从何处入手，但仔细一想，这不是很熟悉的斜面体吗？若将杯子中的水面等效成一个光滑的斜面，并在斜面上放一个质量为m的小球，则小球恰能随斜面一起做加速度为a的匀加速直线运动。这样一想，问题就迎刃而解了。由于mgtanθ=ma，且tanθ=h/L，所以h=aL/g。点评：杯中水面相当于一个斜面，但水面为什么会形成一个这样的斜面呢？可以在水面上虚拟一个小球，它将与水斜面保持相对静止，所以其加速度与小车加速度相同。9电表的等效变换例9在实验室中测量电源的电动势和内阻，提供的器材有：A．待测电池：电动势E约为3V，内阻r约为1ΩB．电流表A1：量程为0．6A，内阻r1=0．5ΩC．电流表A2：量程为5mA，内阻r2=1ΩD．滑动变阻器R1：阻值0～2000Ω，额定电流为1．5AE．滑动变阻器R2：阻值0～20Ω，额定电流为1．5AF．电阻箱R3：9999ΩG．开关、导线等为了尽可能准确地测量待测电源的电动势和内电阻，怎样设计实验电路？解析：通过分析和估算，滑动变阻器应该选R2，电流表应该选A1．但本实验中未提供符合要求的电压表，只提供了电阻箱，故可以用电阻箱代替滑动变阻器，用电阻箱与A1表配合使用，既能测出电路总电流，又能测出路端电压，实验电路如图所示。点评：在大部分电学设计型实验中，需要的基本仪器是电流表和电压表。当只有一个电表满足要求时，可以用标准电阻（或电阻箱）代替，或将其与电流表组合改装成实验需要的电表。当电表的内阻已知时，电压表可以当作电流表使用，电流表也可以当作电压表使用。10平面镜的等效变换例10如图所示，设有两面均垂直于地面的竖直光滑墙A和B，两墙水平距离为1．0m，从距地面高19．6m处的一点C以初速度5．0m/s沿水平方向抛出一个小球。设球与墙的碰撞为完全弹性碰撞。求小球落地点距墙A的水平距离和落地前与墙壁碰撞的次数。（忽略空气阻力，取g=9．8m/s2）解析：如图所示，设小球与墙壁碰撞前的速度为v，因为是弹性碰撞，所以在水平方向上以原速率弹回，即v′=v；又因为墙壁光滑，所以在竖直方向上速率不变，从而小球与墙壁碰撞前、后的速度v和v′关于墙壁对称，以后的碰撞亦然。因此，可将墙壁比作平面镜，把小球的运动等效为连贯的平抛运动来处理，由和可得碰撞次数为次。由于n刚好为整数，故小球最后落在A墙脚，即落地点距离A的水平距离为零。点评：在物理学中，有许多物理现象、过程、规律都具有对称性，有时做平抛运动的物体，在运动过程中也具有对称性，解题时充分利用这些对称性，将整个过程等效为一个平抛过程，有时会达到“柳暗花明又一村”的效果。通过上面几例的分析可以看出，采用等效变换法不仅可以将陌生问题转换为我们熟悉的物理模型，而且可以简化解题步骤，化难为易，取到意想不到的效果。