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点这里,看更多数学资料中公考研,让考研变得简单!查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕,很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-线性方程组(解的结构)知识点讲解和习题】,希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程,针对每一个科目要点进行深入的指导分析,欢迎各位考生了解咨询。模块十线性方程组(解的结构)一.齐次线性方程组1.齐次线性方程组解的性质定理:如果12,为齐次线性方程组0Ax的两个解,则对任意的实数12,kk,1122kk仍为0Ax的解。注:ⅰ)该定理也可以概括为12,的任意线性组合仍为0Ax的解;ⅱ)该定理还可以推广到多个向量的情况:假设12,,...,k是0Ax的解,则12,,...,k的任意线性组合仍为0Ax的解;2.基础解系(1)基本概念假设齐次线性方程组0Ax有非零解。向量组12,,...,s称为齐次线性方程组0Ax的基础解系,如果它们满足如下三个条件:(1)12,,...,s都是0Ax的解;(2)12,,...,s线性无关;点这里,看更多数学资料中公考研,让考研变得简单!查看更多考研数学辅导资料(3)0Ax的任意解都可以由12,,...,s线性表出。如果12,,...,s为0Ax的基础解系,则0Ax的通解可以表示为112212...(,,...,)ssskkkkkkR。注:基础解系是求齐次及非齐次线性方程组通解的关键,是解的结构部分最重要的概念,为了让考生对该概念有正确而全面的认识,我们从如下两方面来予以说明:1)齐次线性方程组0Ax的基础解系12,,...,s是0Ax的一组线性无关的解,它们可以线性表出0Ax的任意解。也就是说,假设是0Ax的任一解,向量组12,,...,,s是线性相关的。通过上述分析不难发现,基础解系本质上是齐次线性方程组解集的极大线性无关组。2)由于基础解系就是极大线性无关组,那么极大线性无关组的性质对基础解系同样成立,如:齐次线性方程组的任意两个基础解系是等价的,齐次线性方程组的任意两个基础解系所含的向量个数相等。(2)核心定理定理:设齐次线性方程组0mnAx(m个方程,n个未知量)系数矩阵A的秩rAn,则齐次线性方程组0Ax的基础解系存在,并且任一个基础解系中含有nrA个解向量。注:1)结合对基础解系定义的说明,该定理实质上是说齐次线性方程组0Ax的解集的秩为nrA;2)由极大线性无关组的性质还可以得到:0Ax任意nrA个线性无关的解都是0Ax的基础解系。【例1】:已知向量组123,,为n元齐次线性方程组0Ax的基础解系,证明:向量组122331,,仍为该齐次线性方程组的基础解系。【例2】:设向量12,,,t是齐次线性方程组0Ax的一个基础解系,而向量不是0Ax的解,即0A.试证明:向量组1,,,t线性无关.点这里,看更多数学资料中公考研,让考研变得简单!查看更多考研数学辅导资料(3)计算方法①设()rArn,则对系数矩阵A实施初等行变换化为阶梯型矩阵。找出主元(每行第一个非零元),再进一步通过初等行变换将方程组化为“行最简形”(使得主元所在列成为一个单位矩阵)。我们给出了主元为前r个变量的情形,如下:1(1)12(1)2(1)10...0...01...0........................00...1...00...00...000...00...0rnrnrrrnaaaaaa②则对应的齐次线性方程组可化为如下形式:1(1)1112(1)221(1)1...0...0.................................................0rnrnrnrnrrrnrrnxaxaxxaxaxxaxax③在上述方程中,分别令“自由变量”(主元以外的变量)其中一个为1,其余为0,如下:12100010...::::001rrnxxx可以得到nr个线性无关的解向量:1(1)1(2)()(1)2(1)2(2)()(1)(1)(2)()(1)12:::,,...,100010:::001rrnrrrrnrrrrrrnrrnraaaaaaaaa它们就是齐次线性方程组0Ax的基础解系。点这里,看更多数学资料中公考研,让考研变得简单!查看更多考研数学辅导资料【例3】:求齐次线性方程组1234123423420340230xxxxxxxxxxx的基础解系与通解。【答案】:基础解系为5723,1001,齐次线性方程组的通解为12125723,,1001kkkkR。【例4】:设齐次线性方程组121212(1)02(2)20............................................()0nnnaxxxxaxxaxnxnax,)2(n,试问a为何值时,该方程组有非零解,并求其解。【答案】:(1)若0a,1)(AR,方程组有非零解,基础解系为T0,,0,1,11,T0,,0,1,0,12,…Tn1,0,,0,11所以方程组的通解为112211nnkkk(11,,nkk为任意常数)(2)若0a,当)1(21nna时,基础解系为Tn,,2,1所以通解为k(k为任意常数)【例5】:已知齐次线性方程组12341234123420230340xxxxxxxxxxaxbx的基础解系中有2个向量,求,ab并求它的一个基础解系。【答案】:1,3ab;基础解系为5543,1001。点这里,看更多数学资料中公考研,让考研变得简单!查看更多考研数学辅导资料在紧张的复习中,中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题,并且持之以恒,最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。
本文标题:考研数学线代资料—线性方程组(解的结构)
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