考研数学线性代数强化习题-逆矩阵与初等矩阵

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-逆矩阵与初等矩阵知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。模块四逆矩阵与初等矩阵Ⅰ经典习题一．逆矩阵的计算1、设,AB均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知23ABAB，90601500021A，则12BE.2、设12100...000...0...............000...00...0nnaaAaa，其中0,1,2,,iain，求1A.3、设0ABMD可逆，其中,AD皆为方阵，求证：,AD可逆，并求1M.二．伴随矩阵4、设A为正交矩阵，则下列矩阵中不为正交矩阵的是（）.（A）TA（B）2A（C）*A（D）2A点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料5、设,AB均为n阶可逆矩阵，则下列等式中，必定成立的是（）（A）22ABABAB（B）111ABAB（C）ABAB（D）***ABBA6、设An为阶可逆矩阵(2)n，则1()*A（A）1||AA（B）||AA（C）11||AA（D）1||AA7、已知三阶矩阵A的行列式为3，*A为A的伴随矩阵，TA为A的转置，如果kA的逆矩阵为*112TAAA，则k.8、已知ABCD，其中100001111011,010,022001100003ACD，则*B_____________.9、设100220345A,*A为A的伴随矩阵,则*1()A.10、设1123A，111123149B，则***AOOB.11、假设1234012300120001A，求A的所有代数余子式之和.12、已知三阶矩阵A的逆矩阵为1111121113A,试求其伴随矩阵*A的逆矩阵.13、设A为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，证明：*TT*()()AA.14、设A为n阶方阵，则有**|||()|,(2)nAA.15、A为(3)nn阶非零实矩阵，ijA为A中元素ija的代数余子式，证明：下列结论：点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（1）TijijaAAAE且1;A（2）TijijaAAAE且1.A三．可逆性的讨论16、下列命题中①如果矩阵1,ABEAAB则可逆且；②如果22,(),()nABABEBAE阶方阵满足则；③如果方阵,AB均n阶不可逆，则AB必不可逆④如果方阵,AB均n阶不可逆，则AB必不可逆正确的是（）（A）②，④（B）①，④（C）②，③（D）①，③17、设,AB均为n阶矩阵，且ABAB，则下列命题中①若A可逆，则B可逆；②若AB可逆，则B可逆；③若B可逆，则AB可逆；④AE恒可逆正确的有（）个.（A）1（B）2（C）3（D）418、设A为mn矩阵，B为nm矩阵，且mn则必有（）（A）0AB（B）0BA（C）ABBA（D）BABABABA19、已知,XY是相互正交的n维列向量，证明TEXY可逆.四．矩阵方程20、设三阶方阵AB、满足关系式16ABAABA，且1/50001/70001/13A，则B_____________.21、111011,001A且.2EABA其中E是三阶单位矩阵，则B.．点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料22、设11(2)TECBAC，其中E是4阶单位矩阵，TA是4阶矩阵A的转置矩阵，1232012300120001B，1201012000120001C则A.23、设矩阵111111111A，矩阵X满足12AXAX，其中A是A的伴随矩阵，则X.24、已知BAXX,其中350211,101111010BA,求矩阵X.25、设A,B满足28*ABABA-E，其中122024001A，求B.五．初等变换与初等矩阵26、设111213212223313233aaaAaaaaaa，212223111213311132123313aaaBaaaaaaaaa，1010100001P，2100010101P，则必有（）（A）12APPB（B）21APPB（C）12PPAB（D）21PPAB27、设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（）（A）1CPAP（B）1CPAP点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料（C）TCPAP（D）TCPAP28、设123A=α,α,α为3阶矩阵，1A，2213B=α,α,α，试计算*BA.29、设n阶矩阵,AB等价，则下列说法中，不一定成立的是（）（A）0A，则0B（B）如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PBE（C）如果AE，则0B（D）存在可逆矩阵P与Q，使得PAQB点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料Ⅱ参考答案一．逆矩阵的计算1、【解析】：由移项并提公因式可得.再在等式两边同时加上可得，也即，进一步有.可知2、【解析】：其中，则，又因为23ABAB23ABEBO6E2326ABEBEE326AEBEE326AEBEE1101320206003AEBE12100...000...00...............0000...00...0nnaaBACaa()nCa1210...0...0............00...naaBa11()nCa11112110...0...0............00...naaBa111OBOAAOBO点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料故.3、【解析】：可逆可逆.设的逆矩阵为，由于,得，所以.二．伴随矩阵4、【答案】：（D）【解析】：为正交矩阵，可知.因此，，，可知为正交矩阵.，，故也为正交矩阵.，故，.由可知，.因此.可知也为正交矩阵.最后，，可知不为正交矩阵.5、【答案】：（D）【解析】：1111211000...0100...00100...001000...0nnaaOCABOaaM.00,0,MADADADM12134XXMXXX1200EMXE1113111242331424XAAXBXEAXBXOXABDDXOXODXEXD11111AABDMODATTAAAAETTTTAAAAETTTTAAAAETA22TTTTAAAAAAAAE22TTTTAAAAAAAAE2A*1TAAAAA22**TTTAAAAAAAAAAE22**TTTAAAAAAAAAAETTAAAAE21A****TTAAAAE*A2244TTAAAAE2A点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料同时，易知其余选项均不成立，故选（D）.6、【答案】：（D）【解析】：当阶可逆矩阵时，有，故，从而（A）、（B）、（C）都不对.【评注】：当为阶可逆矩阵时，一般直接使用公式.7、【答案】：【解析】：由于，可知，.也即的逆矩阵为.由逆矩阵的公式可得：，可知.8、【答案】：【解析】：所以*111**ABABABABBABABn为1*||BBB11111()*||()||AAAAAAn1*||AAA8213A3311132228TTAAA*113AAAAkA*1112128TAAAA111kAkA821k00203563311**||||BBBBBB11111100315()02611122BADCCDA100300215*600352663311122B点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料9、【答案】：【解析】：10、【答案】：【解析】：易知与均可逆，可知也可逆，故11、【分析】：伴随矩阵的元素就是矩阵的所有代数余子式，计算出，再将所有元素相加即可.【解析】：先计算出，由于，可知.的所有代数余子式之和即为所有元素之和，应填.12、【解析】：.计算可得，10010110553211052*1*11001011()0553211052AAAAAA42AOOBAB**AOOB1**1********1*AOAOAOAOABOBOBOBOB12131142AAOAOABOBOBBA*A11210012100120001A11A*1210012100120001AA*A01*11111()()AAAAA12A点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料.故.13、【证明】：14、【证明】：设的元素的代数余子式，则的元素的代数余子式为.于是，.所以，.【评注】：本题没有说明为可逆矩阵，故不能使用公式.如果加上条件为可逆矩阵，也可以这样求解，故.15、【证明】：（1）当时，有，则由于为阶非零实矩阵，即不全为0，所以而，这说明在两边取行列式，得反之，若且，则且可逆，于是，即（2）当时，有，则由于为阶非零实矩阵，即不全为0，所以在两边取行列式得反之，若且，由于，于是，进一步，由于可逆，得，即三．可逆性的讨论16、【答案】：（A）【解析】：①如果均为阶矩阵，命题当然正确，而现在的问题是题中没有阶矩阵1151122()11011022A*1521()220101A*T1T1TT1()(||)||()||()AAAAAAATT1T*||()()AAA(),||ijaAAijaijA||Aija1(