考研数学高数习题—多元函数积分学

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-多元函数积分学知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。模块十六多元函数积分学（数学一）1、计算三重积分()xzdV,其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域.2、计算22(),IxydV其中为平面曲线22,0yzx绕z轴旋转一周形成的曲面与平面8z所围成的区域.3、计算,zdvW蝌?，其中由平面1,0,0xyzxy和0z围成.4、计算xdv,其中为平面22xyz及三坐标面所围成的位于第一卦限的区域．5、求2()Ixyzdxdydz，其中22:1,1xyz．6、已知曲线2:02Lyxx，则Lxds7.计算2221,Ldsxyz++ò其中L是曲线()cos,sin,02.tttxetyetzet===＃8.计算2,Lydsò其中()()()sin:021cosxattLtyatpì=-ïï＃íï=-ïî的直线段.9、设平面曲线L为下半圆周21,yx则曲线积分22()Lxyds_______10、计算曲线积分22Lxyds，其中L为圆周22xyax。11、计算曲线积分dsyL，其中L是第一象限内从点)1,0(A到点)0,1(B的单位圆弧．12、设曲线:(,)1Lfxy（(,)fxy具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是A(,)dTfxyxB(,)dTfxyyC(,)dTfxysD(,)d(,)dxyTfxyxfxyy13.计算()(),Lxydxyxdy++-ò其中:L(1)抛物线2yx=上从点()1,1到点()4,2的一段弧.(2)从点()1,1到点()4,2的直线段.(3)先从点()1,1到点()1,2,在从点()1,2到()4,2的直线段.(4)曲线2221,1xttyt=++=+上从点()1,1到点()4,2的一段弧.14、计算曲线积分2sin221Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从点0,0到点,0的一段.15、计算曲线积分1cossinLyxdxxdy，其中L为自点0,1沿抛物线21yx至点1,0的一段。16、计算曲线积分22sinLxydxxydy，其中L为自点0,0沿曲线22yxx至点1,1的一段。17.计算()()222,Lxyxdxxydy-++ò其中L是由抛物线22,yxxy==所围成的区域的边界，沿逆时针方向.18.计算()()2322,Lxxydxyxydy-+-ò其中L是由点()()()()0,0,2,0,2,2,0,2所围成的正方形区域的边界，沿顺时针方向.19、计算曲线积分224Cxdyydxxy，其中C为正向曲线1xy。20、已知L是第一象限中从点0,0沿圆周222xyx到点2,0，再沿圆周224xy到点0,2的曲线段，计算曲线积分23=32LJxydxxxydy.21.验证下列曲线积分与路径无关点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料()()()()()()()()()()()22232221222234sinsin3cos3cos3cos243881252coscos2sinsinLLLyLLxydxxydyxydxxdyxyxdxyxdyxyxydxxxyyedyxyyxdxyxxydy++++-++++++-òòòòò22、设,0,0,0,1,,zyxzyxzyx则2ydS________23、计算22()IxydS，为立体122zyx的边界．24、计算3zdS，其中为抛物面222zxy在坐标平面xOy上方的部分。25.计算()22,xyzdSS++蝌其中S是平面226xyz++=在第一卦限的部分.26.计算(),xyyzzxdSS++蝌其中S是锥面22zxy=+被柱面222xyax+=所截得的有限部分.27、计算曲面积分323232xazdydzyaxdzdxzaydxdy，其中为上半球面222zaxy的上侧.28、计算曲面积分2sxzdydzzdxdy，其中S为有向曲面2201zxyz，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.29、计算xdydzydxdzzdxdy，其中为2222,0xyzaz的上侧．30、计算22xzdydzyzdzdxzdxdy，其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体表面的外侧.31.计算24,xzdydzydzdxyzdxdyS-+蝌其中S是由平面0,0,0,1,1,1xyzxyz======所围成区域的表面，取外侧.32、设是锥面的22(01)zxyz下侧，则点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料231xdydzydzdxzdxdy_______.33、计算212222axdydzzadxdyxyz，其中为下半球面222zaxy的上侧，a为大于零的常数.34、计算,zdxxdyydz为平面1zyx被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则．35、计算22222223,LIyzdxzxdyxydz其中L是平面2xyz与圆柱面||||1xy的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向.36、设222rxyz，则(1,2,2)divgradr.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料参考答案1、82、【解析】方法一：利用柱坐标进行计算22248423000210242823rrIdrdrrdzrdr方法二：228822222000021024()3zxyzIdzxydxdydzdrrdr3、1244、解在xoy上的投影区域(,)2xyDxyxy则122122000013xyxyxyxDxdvdxdyxdzdxdyxdz5、解222()2()Ixyzdxdydzxyyzzxdxdydz2222220()2()zxyzdxdydzxyzdxdydz21112230000152()4()33ddrrzrdzrrdr6、1367、()2312e--8、3256.15a9、10、22a11、【解】：L：21xy，10x，222111xdxdxxxds点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料则dsyL=111102102dxxdxx．12、B13.()()()()34321;211;314;43314、【解】（添加x轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L为x轴上从点(,0)到点(0,0)的一段，D是由L与1L围成的区域112220sin20000220000sin221sin221sin22114sin24cos22sin211cos2sin2sin22222LLLLxDxdxxydyxdxxydyxdxxydyxydxdyxdxdxxydyxxxdxxxxxdxxxdx15、2316、71sin26417.13018.819、20、4221.略22、31223、【解】：设21，1为锥面22yxz，10z；2为1z上122yx部分，21,在xoy面投影为122yx，则2211()()zzdSdxdyxy=dxdy2，dxdydS2点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料所以，1221()Ixyds+2222)(dsyx22()2DxydxdydxdyyxD)(222122300(21)()(12)(12)2Dxydxdydrdr24、1111025、81.26、4642.15a27、【解】取2221:0xyaz的下侧，为1和所围成的区域，则由高斯公式可知原式1323232xazdydzyaxdzdxzaydxdy1323232xazdydzyaxdzdxzaydxdy22222223xyaxyzdVaydxdy224322000003sinsinaadddadrdr52920a..28、方法一：用高斯公式以1S表示法向量指向z轴负向的有向平面2211zxy，D为1S在xOy平面上的投影区域，则11222SSSSxzdydzzdxdyxzdydzzdxdyxzdydzzdxdy21DdVdxdy2211003+rDdrdrdzdxdy322方法二：用矢量投影法，因为''2,2xyzxzy，于是'22xSSxzdydzzdxdyxzzzdxdy242Sxxzzdxdy2222242Dxxxyxydxdy212232004cos2cosdrrrdr点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2方法三：直接投影法.曲面S在yOz平面上投影yzD对应两个曲面：一是2,01xzyz，其方向指向前侧，因此积分取正号，一是2,01xzyz，其方向指向后侧，因此积分取负号，再记xyD表示S在xOy平面上投影区域，则2Sxzdydzzdxdy222222yzyzxyDDDzyzdydzzyzdydzxydxdy2224yzxyDDzydydzxydxdy21121221004ydyzydzdrrdr229、【解】：添加02221zayx：与构成封闭曲面．令3,,,zRyQxPzRyQxP则，13323323xdydzydxdzzdxdydVaa．而01zdxdyzdxdyydxdzxdydz，所以原式=32a．30、【解】由高斯公式得2222xzdydzyzdzdxzdxdyzzzdVzdV点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2234000cossin2ddrdr其中为曲面22zxy与222zxy所围成的区域.31.3.232、【解】补一个曲面221:1xyz1上侧,2,31PxQyRz