考研数学高数真题分类—微分方程

点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-微分方程知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。微分方程综述：微分方程可以看做一元函数微积分学的应用与推广，主要考查考生的计算能力。这一部分在考试中以大题与小题的形式交替出现，平均每年所占分值在8分左右.本章的主要知识点有：微分方程的阶、通解和特解等基本概念，可分离变量方程的求解，齐次方程的求解，一阶线性微分方程的求解，伯努利方程的求解，全微分方程的求解，可降阶的高阶微分方程的求解，高阶线性微分方程解的结构，高阶线性微分方程的求解，欧拉方程的求解.学习本章时，首先要熟悉各类方程的形式，记住它们的求解步骤，通过足量的练习以求熟练掌握.在此基础上，还需要具备结合微积分其它章节的知识或者根据问题的几何及物理背景抽象出数学模型，并建立微分方程的能力.一般来说，考生只要具备扎实的一元函数微积分的相关知识，学习本章的时候不会有太大的困难.本章常考的题型有：1.各种类型微分方程的求解，2.线性微分方程解的性质，3.综合应用.常考题型一：一阶方程的求解1．可分离变量方程1.【2006-14分】微分方程(1)yxyx的通解是2.【2008-14分】微分方程0xyy满足条件(1)1y的解是y3.【1998-23分】已知函数()yyx在任意点x处的增量21yxyx，且当0x时，是x的高阶无穷小，(0)y，则(1)y等于4.【1994-23分】微分方程2(4)0ydxxxdy的通解为点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料5.【2001-23分】微分方程11arcsin2xyxy满足12y=0的特解为（）．6.【2005-34分】微分方程0yyx满足初始条件2)1(y的特解为.7.【2008-210分】设函数()yyx由参数方程20()ln(1)txxtyudu确定，其中()xt是初值问题020|0xtdxtedtx的解.求22dydx.【小结】：如果一个一阶微分方程可以写成()()gydyfxdx的形式，我们就称该微分方程为可分离变量的微分方程.对该方程的两端求不定积分()()gydyfxdx就得到微分方程的通解.2.齐次方程8.【2007-34分】微分方程3d1d2yyyxxx满足11xy的特解为y________.9.【1996-36分】求微分方程22yxydydxx的通解.10.【1993-15分】求微分方程22xyxyy满足初始条件11yx的特解11.【1997-25分】求微分方程0)2()23(222dyxyxdxyxyx的通解.12.【1999-27分】求初始问题221()0,(0)0xyxydxxdyxy的解.13．【2014-14分】微分方程0)ln(ln'yxyxy满足3)1(ey的解为．【小结】：如果一阶微分方程(,)dyfxydx中的函数(,)fxy可以写成()yx的形式，则称该方程为齐次方程.对于齐次方程，我们引入新函数yux，则yux.由一元函数微分学点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料的知识，可知dyxduudx.代入原方程可得()duxuudx，整理得()dudxuux.则原方程就被化为了可分离变量的方程，求解该方程得到未知函数u，再由yux就可以得到未知函数y的表达式.齐次方程是通过变量代换化为可分离变量方程的。对方程作变量代换将其化作更为已经求解过的类型是解微分方程的一个非常重要的思想。这一点在考试大纲上虽没有明确要求，但也需要引起考生的注意，稍微了解一些其它将对微分方程作变量代换的方法。3.一阶线性微分方程14.【2012-24分】微分方程2(3)0ydxxydy满足初始条件|1xy的解为________。15.【2004-23分】微分方程3()20yxdxxdy满足165xy的特解为.16.【2005-24分】微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为______.17.【2008-24分】微分方程2()0xyxedxxdy的通解是____y.18.【1992-13分】微分方程tancosyyxx的通解为19.【2011-14分】微分方程xeyyxcos满足条件00y的解y__________.20.【1992-25分】求微分方程3()20yxdxxdy的解21.【1993-25分】求微分方程2(1)(2cos)0xdyxyxdx满足初始条件10yx的特解.22.【1995-28分】设xye是微分方程'xypxyx的一个解，求此微分方程满足条件ln20xy的特解.23.【1996-28分】设()fx为连续函数,(1)求初值问题0(),0xyayfxy的解()yx,其中a为正的常数；(2)若|()|fxk(k为常数),证明：当0x时,有|()|(1)axkyxea.点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料24.【1999-36分】设有微分方程'2yyx，其中2,1,0,1.xxx试求，在,内的连续函数yyx，使之在,1和1,内都满足所给方程，且满足条件00y.25.【2012-2，310分】已知函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及xexfxf2)()('.1）求表达式)(xf2）求曲线的拐点dttfxfyx022)()(【小结】：方程()()dyPxyQxdx称为一阶线性微分方程.我们常用常数变易法来求解，具体步骤如下：先令()0Qx得到相应的齐次线性方程()0dyPxydx，这是一个可分离变量方程：()dyPxdxy，两边积分可得1ln()yPxdxC，也即1(),PxdxCyCeCe将()PxdxyCe中的常数换为未知函数()Cx，得到()()PxdxyCxe，再将()()PxdxyCxe代入原微分方程.则有：()()()'()()()()()()PxdxPxdxPxdxCxePxCxePxCxeQx整理得()'()()PxdxCxQxe.两端积分得()()()PxdxCxQxedxC.再将()()()PxdxCxQxedxC代回()()PxdxyCxe就得到()()()PxdxPxdxyQxedxCe点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料2、考试在微分方程这一处对考生的要求可以分为“识别”和“求解”两方面：由于考试给的方程往往不是我们所熟知的标准形式，因此考生在拿到一个方程之后所需要做的第一件事就是给它归类，识别出它的类型，这要求我们对各种微分方程的具体形式及其变形比较熟悉；锁定了方程的类型之后，就可以按照相应的求解步骤求解了，求解过程中主要需要用到不定积分的计算.4.全微分方程*（数一）26.【1994-19分】设()fx具有二阶连续导数，(0)0,(0)1ff，且[()()]xyxyfxydx2[()]0fxxydy为一全微分方程，求()fx及此全微分方程的通解【小结】：全微分方程的求解与多元函数积分学中求二元函数全微分的原函数实质上是一样的，其求解方法主要有三种：ⅰ）特殊路径积分法：000(,)(,)(,)xyxyuxyPxydxPxydy；ⅱ）不定积分法：由(,)uPxyx得(,)(,)()uxyPxydxCy，再对y求导得'(,)()(,)uPxydxCyQxyxx，由该方程可解得()Cy。ⅲ）凑微分法：(,)(,)...PxydxQxydydu常考题型二：可降阶的高阶方程的求解*（数一、数二）27.【2000-13分】微分方程30xyy的通解为.28.【2002-13分】微分方程20yyy满足初始条件(0)1y，'1(0)2y的特解为.29.【2007-210分】求微分方程2()yxyy满足初始条件(1)(1)1yy的特解.【小结】：可降阶的高阶微分方程主要有两种，其形式和求解过程如下1）'''(,)yfxy型的方程作变量代换'py，则有''dpydx.代入原方程有(,)dpfxpdx，这是一个关于未知函数点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料p的一阶微分方程.求解它，我们可以求出'y，设'(,)yxC，则积分可以得到y.2）'''(,)yfyy型的方程作变量代换'py，则有''dpdpdydpypdxdydxdy.代入原方程有(,)dppfypdy，这是一个关于未知函数p的一阶微分方程.求解它，我们可以求出'y，设'(,)yyC，则积分可以得到y.常考题型三：二阶线性微分方程1.线性微分方程的解的性质30.【2010-24分】设12,yy是一阶线性非齐次微分方程()()ypxyqx的两个特解.若常数,使12yy是该方程的解，12yy是对应的齐次方程的解,则()A21,21.()B21,21.()C31,32.()D32,32.31.【2006-34分】设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解12(),(),yxyxC为任意常数，则该方程的通解是()A12()()Cyxyx.()B112()()()yxCyxyx.()C12()()Cyxyx.()D112()()()yxCyxyx32.【2011-24分】微分方程2(0)xxyyee的特解形式为()()A()xxaee．()B()xxaxee．()C()xxxaebe．()D2()xxxaebe．33.【2015-14分】设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则()点这里，看更多数学资料中公考研，让考研变得简单！查看更多考研数学辅导资料()A3,2,1abc()B3,2,1abc()C3,2,1abc()D3,2,1abc34.【1997-25分】已知22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.35.【2013-14分】已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y．36.【2013-24分】已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00xy01xy的解为y．37.【2015-34分】设函数()yyx是微分方程'''20yyy的解，且在0x处()yx取得极值3，则()yx2.二阶常系数线性微分方程的求解38.【2012-14分】若函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及xexfxf2)()('，则)(xf=________39.【2004-24分】微分方程21sinyyxx的特解形式可设为()A2(sincos)