实变的一些习题解答

December1,20111.?.E,,x2E,xE,0,B(x;)\E=fxg.EE..,.E=f1n:n2N+g.EE,E0.2..(1)E,EE0..E=(0;1),E0=[0;1]E.(2)E,E@E..E=Q,@E=RE.(3)E,(E0)0,;,((E0)0)0=;..E=f1n+1m:n;m2N+g.E0=f0;1;12;13;:::;1n;:::;g,(E0)0=f0g,((E0)0)0=;.(4)E,..E=(0;1],E.3.ECantorG0,E0..E1,E0\G0=;,E0C.,x2C=C0,Cfxng,xn!x(n!1).n,xn,xn+1G0,,yn.1yn!x(n!1).x2E0.CE0.E0=C.4.G1;G2Rn,G1\G2=;..x2G1,0,B(x;)G1.G1\G2=;B(x;)\G2=;.xG2.G1\G2=;..,G2RnnG1.RnnG1,G2RnnG1,G1\G2=;..G2.5.F1;F2Rn,F1\@F2=;,F2\@F1=;,F1;F2..@F2=F2nF2=F2nF2=F2\{F2.F1\@F2=;F1(@F2)c={(F2\{F2)={F2[F2.F1\F2F2.F1\F2F1.F1\F2F1\F2=(F1\F2).F1\F2.F1\F2.Rn;Rn.F1\F2=;(F1\F2,Rn).6.fR,:E=fx2R:f(x)=0;f0(x),0g..x02E,f(x0)=0;f0(x0),0.f0(x0)=limx!x0f(x)f(x0)xx0=limx!x0f(x)xx0;0,f(x)xx0,0;8x2(x0;x0)[(x0;x0+);f(x),0;8x2(x0;x0)[(x0;x0+):(x0;x0+)\E=fx0g:x0E.7.:EE,E;EE,E.2.E=[GE;GG;E=\FE;FF:A=[GE;GG;B=\FE;FF:x2A,GEx2G,x2E.AE.x2E,0B(x;)E.B(x;)x,x2A.EA.E=A.AE,E.FEFE,BE.,xE,0,B(x;)\E=;,E{B(x;).{B(x;)E.xB(x2{B(x;),).xE,xB,BE.E=B.BEE,E.8.:E@E,EE=E[@E@EE;EE\@E=;..@E,@E=E\Ec.,,x2@E,80;B(x;)\E,;;B(x;)\Ec,;,x2E\Ec:@E=E\Ec.E,E=E=E[@E.E=E[@E,@EE.@EE,x2E0,x2Ex2@E,x2E.E0E,E.:E,E=E[@E,@EE.E,x2E,0,B(x;)E,x@E.E\@E=;.E\@E=;,x2E,x@E=E\Ec.x2EE,xEc.0B(x;)\Ec=;.B(x;)E.E.3:E()E\@E=;.9.Rn;Rn..ERn,E,;,E,Rn,E,f(x)=8:1;x2E;2;x2RnnE:fRn,f(Rn)=f1;2g.!10.ERn,E,;,E,Rn,@E,;.@E=;,8E\Ec=;,EE.E.Ec,E.9,E=;E=Rn.E,;,E,Rn,@E,;.11.A;B,G1;G2G1A,G2B,G1\G2=;.G1=fx:d(x;A)d(x;B)g,G2=fx:d(x;B)d(x;A)g,G1,G2,AG1,BG2,G1\G2=;.12.A;BRn,A\B=;,B\A=;,G1;G2G1A,G2B,G1\G2=;.d(x;A)=0;d(x;B)0;8x2A;d(x;B)=0;d(x;A)0;8x2B:G1;G2..13.:RnE,x02Rn,y02E,jx0y0j=d(x0;E):.=)E.,k,yk2E,d(x0;E)6jx0ykjd(x0;E)+1k:4fykgE,limk!1jx0ykj=d(x0;E).fykg,fykg,jx0y0j=d(x0;E).E,y02E.(=x2E0,,y02E,jx0y0j=d(x0;E).d(x0;E)=0.x0=y02E.E0E.E.14.fR,FR,f1(F)=fx:f(x)2Fg..f1(F),:f1(F)f1(F).,fxngf1(F),xn!x0(n!1),f(xn)2F;n=1;2;:::.fF,f(x0)2F,x02f1(F).f1(F).15.A,BRn,AB,mAmB?A,B(),mAmB?A,B,?.1)A;B,AB,mA=mB,:A=(1;2)[(2;3),B=(1;3).2)A;B,AB,mA=mB,:A=[0;2],B=[0;2][f3g.3)A,BAB,mA=mB,:A=(0;2),B=[0;2].4)A,BAB,mB1,mAmB.BnA,m(BnA)0.mB=mA+m(BnA)mA.16.E[0;1].mE=1,E=[0;1];mE=0,E=;..1=mE6mE61,mE=1.m([0;1]nE)=0.m((0;1)nE)=m([0;1]nE)=0(0;1)nE=;,(0;1)E,[0;1]E[0;1].E=[0;1].mE=0,E,E=;.17.fEkgRn,1Pk=1mEk1,limk!1Ek,limk!1Ek..1Pk=1mEk1limi!11Pk=imEk=0.i1,5,mlimk!1Ek=m0BBBBBB@1\i=11[k=iEk1CCCCCCA6m0BBBBBB@1[k=iEk1CCCCCCA61Xk=imEk:i!1,mlimk!1Ek=0.limk!1Eklimk!1Ekmlimk!1Ek!=0.18.(1)fEkg[0;1],mEk=1(k=1;2;:::).m(1Tk=1Ek)=1.(2)Ek[0;1],mEkn1n(k=1;2;:::;n).m(nTk=1Ek)0.(3)Ek[0;1],1mEkk0(k=1;2;:::).fkgm(1Tk=1Ek)0?m(1Tk=1Ek)1().fkg?.(1)m([0;1]nEk)=1mEk=0(k=1;2;:::;).m0BBBBBB@[0;1]n1\k=1Ek1CCCCCCA=m0BBBBBB@1[k=1[0;1]nEk1CCCCCCA61Xk=1m([0;1]nEk)=0:m1Tk=1Ek!=1m[0;1]n1Tk=1Ek!=1.(2)m([0;1]nEk)=1mEk1n(k=1;2;:::;n).m0BBBBBB@[0;1]nn\k=1Ek1CCCCCCA=m0BBBBBB@n[k=1[0;1]nEk1CCCCCCA6nXk=1m([0;1]nEk)1:mnTk=1Ek!=1m[0;1]nnTk=1Ek!0.(3),fkg1Pk=1(1k)61,m(1Tk=1Ek)0.fkg1Pk=1(1k)6,m(1Tk=1Ek)1.19.(1)(2)E.(1)0,GF,FEGm(GnF).(2)0,G1,G2:G1E,G2Ec,m(G1\G2)..(1)=),0,GF,GEF,m(GnE)2,m(FnF)2.m(GnF)=m(GnE)+m(FnE)2+2=.(=k1,,GkE,FkE,m(GknFk)1k.m(GknE)6m(GknE)1k,m(EnFk)66m(GknE)1k.G=1Tk=1Gk,F=1Sk=1Fk,G,FGF,.m(GnE)=m(1\k=1GknE)6m(GknE)1k;k=1;2;::::m(GnE)=0,GnE.E=Gn(GnE).EnF,E=(EnF)[FE.(2)(1)(2),(2)E.20.fR.Gf=f(x;y)2R2:y=f(x);x2RgR2..,1ab1,S(a;b)=f(x;f(x)):x2[a;b]gR2.,0,f[a;b],0,x0;x002[a;b],jx0x00j,jf(x0)f(x00)jba.[a;b]T:a=x0x1:::xn1xn=b;jjTjj=max16i6n(xixi1).Mi;mif[xi1;xi],S(a;b)n[i=1([xi1;xi][mi;Mi]):mS(a;b)6nXi=1(Mimi)(xixi1)nXi=1ba(xixi1)=mS(a;b)=0,S(a;b)R2.Gf=1[n=1S(n;n)7GfR2.21.(1)E,066mE.EE,mE=.(2)(1)..(1)b=supE,a=infE,E[a;b].f(x)=m([a;x]\E);x2[a;b];f(a)=0;f(b)=mE,f(m)66f(M).x1;x22[a;b];x1x2,06f(x2)f(x1)=m([x1;x2]\E)6x2x1:f[a;b],,c2[a;b],f(c)=.E=[a;c]\E,EE,mE=..E((2)).(2):ERn,066mE.EE,mE=..f(r)=m(B(0;r)\E);r0,f(0)=0,R0f(R)=mE,f(0)66f(R).f[0;R].,r1;r22[0;R],r1r2,06f(r2)f(r1)=m(B(0;r2)\E)m(B(0;r1)\E)6m((B(0;r2)nB(0;r1))\E)6m((B(0;r2)nB(0;r1))=Cn(rn2rn1);CnRn.f.,c2[0;R]f(c)=.E=B(0;c)\E,EE,mE=.22.EkRn(k=1;2;:::).:limk!1mEkm(limk!1Ek):.:ERn,G,mE=mG.mE=1(G=Rn),mE1.,8k,GkE,mGkmE+1k.G=1Tk=1Gk,mE6mGmGkmE+1k;k=1;2;::::GE,mG=mE.limk!1mEkm(limk!1Ek):,k,GkEk,mGk=mEk.mlimk!1Ek!6mlimk!1Gk!=m0BBBBBB@limi!11\k=iGk1CCCCCCA=limi!1m0BBBBBB@1\k=iGk1CCCCCCA6limi!1infkimGk=limi!1infkimEk=supi1infkimEk=limk!1mEk:23.A;BRn,d(A;B)=inffd(x;y):x2A;y2Bg:d(A;B)0,:m(A[B)=mA+mB:.G=fx2Rn:d(x;A)d(x;B)g.G,AG,G\B=;.G(T=A[B),m(A[B)=m((A[B)\G)+m((A[B)\Gc)=mA+mB:24.:ERn,mE=inffmG:GEg.9.mE=+1,,mE+1.mE6inffmG:GEg.,0,,ELfIkg,1Xk=1jIkjmE+:G=1Sk=1Ik,GE,mG61Xk=1jIkjmE+:inffmG:GEg6mGmE+:!0+,inffmG:GEg6mE:,mE=inffmG:GEg.25.ERn,mE=supfmF:FEg,E..EmE+1.,k,FkE,mFkmE+1k.F=1Sk=1Fk,m(EnF)=m0BBBBBB@k\k=1FnFk1CCCCCCA6m(EnFk)=mEmFk1k;k=1;2::::k!1,m(EnF)=0,EnF.E=F[(EnF).,Fk.26.:E..ERn,fE,E1E.a2R,E1(fa)=E1\E(fa).E1(fa),fE1.27.:fE1;E2Rn,fE1E2,x2E1\E2,fE