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下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题,解答是本人自己写的,可能有错误或者不足,希望对大家的考试有帮助。二、辨析题(每题5分,共25分,正确的说明理由,错误的给出反例)1、拓扑空间中有限集没有聚点。答:这个说法是错误的。反例:cbaX,,,规定拓扑aX,,,则当aA时,b和c都是A的聚点。因为b和c的领域只有X一个,它包含a,a不是A的聚点,因为aA\。2、欧式直线1E是紧致空间。答:这个说法是错误的。反例:对1E而言,有开覆盖Znnn|,,而对于该开覆盖没有有限子覆盖。3、如果乘积空间YX道路连通,则X和Y都是道路连通空间。答:这个说法是正确的。证明:对于投射有XYXP1,YYXP2,由投射是连续的,又知YX是道路连通,从而像也是道路连通空间,所以X和Y都是道路连通空间。4、单位闭区间I与1S不同胚。答:这个说法是正确的。下面用反证法证明,反设I与1S同胚,则21\21\2:21\2|1fSf也是同胚映射,21\I不连通,则21\1S不连通,故矛盾,所以单位闭区间I与1S不同胚。5、紧致性具有可遗传性质。答:这个说法是错误的。反例:1,0紧致但1,0不紧致。三、证明题(每题10分,共50分)1、规定111,0\:EEf为110,xxxxxf,证明f是连续映射,但不是同胚映射。证明:由于f限制在0,与,1上连续,由粘接引理,f连续。但1f不连续,如0,是1,0\1E的闭集,但0,0,0,11ff不是1E的闭集,所以f不是同胚映射。2、证明:Hausdorff空间的子空间也是Hausdorff空间。证明:设X是Hausdorff空间,Y是X的任一子空间,需证Y是Hausdorff空间。Yyx,,由X是Hausdorff空间,所以存在yx,在X的开邻域U、V使得VU,YU是x在Y中开邻域,YV是y在Y中开邻域,YVUYVYU,故Y是Hausdorff空间。3、证明:从紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚。证明:要证明XYf:1连续,只需证f是闭映射,设A是X的闭子集紧致,所以A是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致,所以Af是Y的紧致子集,又由于Hausdorff空间的紧致子集是闭集,所以Af是Y的闭集。4、设0X是X的既开又闭的子集,A是X的连通子集,则或者0XA或者0XA。证明:0XA是A的既开又闭的子集,由于A连通,则或者0XA或者AXA0即0XA。5、证明:道路连通性具有可乘性质。证明:设00,yx是11,yx是YX中两点,X和Y都是道路连通,则有X中道路a,以10,xx为起始点,又有Y中道路b,以10,yy为起始点,作YX中道路c为:tbtatc,,It,则c连接00,yx和11,yx,所以道路连通性具有可乘性质。
本文标题:点集拓扑学考试题目及答案
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