第五章_不定积分.

1第五章不定积分§5.1不定积分的概念与性质§5.2换元积分法§5.3分部积分法§5.4有理函数及三角函数有理式的积分2回顾:微分学的基本问题是“已知一个函数,如何求它的导数.”积分学包括两个基本部分:不定积分和定积分.本章研究不定积分的概念、性质和基本积分方法.那么,如果已知一个函数的导数,要求原来的函数,这类问题,是微分法的逆问题.这就产生了积分学.3问题:若已知某一函数F(x)的导数为ƒ(x),求这个函数.则称F(x)是已知函数ƒ(x)在该区间I上的一个原函数.()()()().FxfxdFxfxdx或一.原函数的定义定义1设ƒ(x)定义在区间I上,若存在函数F(x),使得对§5.1不定积分的概念和性质Ix有xxcossin例因为xsin是xcos的原函数.，所以)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.因为所以4定理1若函数ƒ(x)在区间I上连续,则ƒ(x)在区间I上的原函数一定存在。简言之：连续函数一定有原函数.(证明略)原函数存在性定理:定理2设F(x)是函数ƒ(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.证因为(())()()FxCFxfx问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？所以F(x)+C也是函数ƒ(x)的原函数.5定理3设F(x)和G(x)都是函数ƒ(x)的原函数,则F(x)–G(x)≡C(常数)证(()())FxGx()()()()0FxGxfxfx()()()FxGxC常数由拉格朗日定理知由此可见:若F(x)是ƒ(x)的一个原函数,则表达式F(x)+C可表示ƒ(x)的所有原函数。二.不定积分的定义定义2函数ƒ(x)的全体原函数称为ƒ(x)的不定积分.记为().fxdx显然，若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数,则()().fxdxFxC6任意常数积分号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量例如cossin.xdxxC7例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx8例3求下列不定积分(1)sinxdxsincosxdxxC解22xdxxC解(2)2xdx(3)xdx111xdxxC解dxx1)4(cxdxxln1解9三.不定积分的几何意义而是ƒ(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族,其特点是:()fxdx(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动|c|个单位而得到.(如图)当c0时,向上移动;当c0时,向下移动.oxyxy=F(x){|c|函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.10oxyxy=F(x)(())()()FxCFxfx(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平行.注:当需要从积分曲线族中求出过点的一条积分曲线时,则只须把代入y=F(x)+C中解出C即可.00(,)xy00(,)xy11例4已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点求此曲线方程.3(,5),e解设所求曲线为y=ƒ(x),则1dydxx由题意1lnydxxCx35xey由条件知有35ln,eC2.C得故所求曲线为y=ln|x|+212四、不定积分的性质;,,d)(d)(d)]()([)3(.,)(d)()2(;d)(]d)([d)(]d)([dd)1(为常数其中为任意常数或xxgxxfxxgxfCCxFxxFxxfxxfxfxxfx13五、基本积分表,sindcos)6(,ln1d)5(,ede)4()0(||lnd1)3(),1(11d)2()(d)1(1CxxxCaaxaCxxCxxxCxxxkCkxxkxxxx为常数14CxxxCxxxCxxxxCxxxxCxxxCxxxCxxxarctand11)13(arcsind11)12(cscdcotcsc)11(secdtansec)10(cotdcsc)9(tandsec)8(cosdsin)7(222215导数公式表积分公式表(sin)cosxx(cos)sinxxcossinxdxxC2(cot)cscxx(sec)sectanxxx2(tan)secxxsincosxdxxC2sectanxdxxC2csccotxdxxCsectansecxxdxxC(csc)csccotxxxcsccotcscxxdxxC21(arcsin)1xx2arcsin1dxxCx21(arctan)1xx2arctan1dxxCx以上基本积分公式是求不定积分的基础,必须记牢！16例5求下列不定积分3(3)dxxx2(2).xxxedxedx解3(1)dxx-33dxxdxx解2(2)xxdx522xxdxxdx解-212xC7722125712xCxC(4)2xxedx433dxxdxxx解133xC(2)ln2xeCe17直接积分法:利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分.例6求下列不定积分23(2)(1)xdxx2233(2)44xxxdxdxxx解2311144dxdxdxxxx242lnxCxx184222(2)1xxdxx424222221111xxxxdxdxxx解222(1)11xdxx221(1)1xdxdxx31arctan3xxxC2(3)cos2xdx21coscos22xxdxdx解1(sin)2xxC19(cossin)xxdxsincos.xxC例8一种流感病毒每天以的速率增加,其中t是首次爆发后的天数,如果第一天有50个病人,试问在第10天有多少个人被感染？解设在第t天有Q(t)个人被感染,则2()(2403)Qttdt22403tdttdt23120.ttCcos2(4).sincosxdxxx22cos2cossin.sincossincosxxxdxdxxxxx解天人/)3240(2tt20由题意知当t=1时,Q(t)=50.代入上式可解出C=–69,则23()12069Qttt10()10931tQt即在第10天有10931个人被感染.21一、填空题：1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______；2、)(xf的________称为)(xf的不定积分；3、把)(xf的一个原函数)(xF的图形叫做函数)(xf的________，它的方程是)(xFy，这样不定积dxxf)(在几何上就表示________，它的方程是CxFy)(；4、由)()('xfxF可知，在积分曲线族CxFy)()(是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的；5、若)(xf在某区间上______，则在该区间上)(xf的原函数一定存在；练习题无穷多常数全体原函数积分曲线积分曲线族平行连续226、dxxx______________________；7、xxdx2_______________________；8.dxxx)23(2_____________Cx2552Cx2332Cxxx22332323能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一.凑微分法(第一换元法)例计算cos2xdx分析:此不定积分在积分表中查不到.§5.2换元积分法为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效的积分法.这是因为被积函数cos2x的变量是“2x”,与积分变量“x”不同.但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与积分变量变得相同,那么就可用公式cossinuduuC求出此不定积分.(u是x的函数)241cos2cos2(2)2xdxxdx12cos2uxudu令1cos2(2)2xdx1sin2uC1sin22uxC回代注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d()使原积分变成可直接用积分公式来计算.这种方法称为凑微分法.其理论依据为122dxdx解xcos2xdx25定理4()(),(),fuduFuCux设且具有连续导数则[()]()[()].fxdxFxC证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.[(())](())()uxFxCFufxx注1.定理4中,若u为自变量时,当然有()()fuduFuC当u换为(x)时,就有[()]()[()]fxdxFxC成立.——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.注2.凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.即[()]()fxxdx凑[()]().fxdx成立.26(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把dx凑成d(x).如(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:lnxdxx322lnln(ln)3xdxxCdxex2)2(212xdexcex22127例1求下列各不定积分321(2).xedx1(2)(1)32232dxdxxx解332211322(2)13xxedxedx解（）结论1:1()()()faxbdxfaxbdaxba1(32)232dxx1ln322xC32123xeC(1);32dxx2822(3)dxax111[]2dxaaxax解原式1111()()22daxdaxaaxaax11lnln22axaxCaa1ln2axCaax22(4)(0)dxaax22(1())dxxaa解原式2()(1())xadaxaa2()(1())xdaxaarcsinxCa2922(5)dxax22(1())dxxaa解原式22()11()xadaxaa2()11arctan1()xdxaCxaaaa3011.()dxdaxa112.(1),1xdxdx1()(,,0)daxbabaa为常数24.(arcsin)(arccos)1dxdxdxx1(2)dxdxx3.,lnxxaadxda,xxedxde()xxeedxd25.(arctan)(cot)1dxdxdarcxx以下常见的凑微分公式！318.(sincos)(cossin)xxdxdxx29.(21)()xdxdxx210.tancosdxdxx211.cotsindxdxxxdxdxsincos7xddxcos-sin6.ln,dxdxxln(1)1dxdxx32例2求不定积分2332(1)23xdxxx33(23)23dxxxx解原式3ln23xxC结论2:'()ln()()fxdxfxCfx(2)tan