第五章—结构单元

机械与运载工程学院湖南大学CollegeofMechanical&VehicleEngineeringHunanUniversity崔向阳结构单元(1)-梁问题第五章:有限单元法崔向阳02:272引言梁板壳结构在工程中广泛应用。特点：梁——两个方向的尺度比其它方向小得多板壳——一个方向的尺度比其它方向小得多梁板壳结构在分析时可以根据其特性进行一定的简化。简化后仍然包括三大类基本方程和两类边界条件，只是表达形式一般与通用表达式有所不同。板壳梁有限单元法崔向阳02:273引言原则上，可以使用2D、3D实体单元分析梁（2D）和板壳结构（3D）问题，但存在一定的困难。为了获得一定的计算精度，单元划分时必须保持单元在各个方向上尺度相近，这样导致单元总数过分庞大，计算效率过低。关于梁板壳结构，通常是根据结构的特点在应变和应力方面引入一定的假定，对问题进行简化，从而构造适合梁板壳结构分析的单元。结构单元是梁板壳单元的总称。有限单元法崔向阳02:274引言基于Kirchhoff假设的经典梁单元——不考虑剪切变形的薄梁单元考虑剪切变形的梁单元经典梁理论基础上引入剪切变形——截面转动和挠度仍然相关（C1）Timoshenko梁单元——挠度和截面转动独立插值（C0）有限单元法崔向阳02:275薄梁公式yzfvAxvEI44yzfxvEI44平衡方程(静态)(动态)单元位移TT4321jjiievvdddddd1=vid2=id3=vjd4=jx0对于薄梁：vx有限单元法崔向阳02:276薄梁单元设单元坐标位移模式为342321)(xaxaxaaxv位移模式232433232322233231/)(/)23(/)2(/)23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN由单元两端点的节点位移条件，解出a1、a2、a3、a4。再代入该式，可将位移模式写为以下形式：exvNd)(][4321NNNNN有限单元法崔向阳02:277薄梁单元应变矩阵B单元弯曲应变b与节点位移de的关系。由材料力学知，梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：22dxvdyb所以，可得单元弯曲应变和节点位移之间关系)26()612()46()612(3lxllxxllxlyB4321BBBBBebBdexvNd)(因为有限单元法崔向阳02:278薄梁单元刚度矩阵200ddddllTTTezVAVEyAxEIxkBDBBBBBlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIzzzzzzzzzzzzzzzze46612266122661246612223223223223k有限单元法崔向阳02:279薄梁等参单元d1=v1d2=1d3=v2d4=2x=-a=1x=a=1x,2a0自然坐标系:ax332210)(v位移模式：)32(112321avaxvxv有限单元法崔向阳02:2710薄梁等参单元111(1)(1)d(2)dvvvx221(3)(1)d(4)dvvvx在x=a或=1在x=a或=1432132132122110111101111aaaaaavvaaaaaaaae11003322411A221143211100332241vvaaaaaaaaevdN)(有限单元法崔向阳02:2711evdN)()()()()()(4321NNNNN)1()()32()()1()()32()(3244341332423411aaNNNN薄梁等参单元有限单元法崔向阳02:2712yLvxvyxuxx22NNNNB222222ayayxyyL4321NNNNN)31(2,23)31(2,234321aNNaNN所以薄梁等参单元有限单元法崔向阳02:2713dd][][1d)()(dd113222241122222NNNNNNBcBkTzTzTaaATVeaEIaaEIxxxAyEVxNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNaEIzed41342414413323134232221241312111113k22234.3323433332asyaaaaaaaEIzek积分得到薄梁等参单元有限单元法崔向阳02:2714xNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNAaaAxAVTTaaATVeddddd443424144333231342322212413121111111NNNNNNm2228.2278613813272278105asyaaaaaaAaem积分得到薄梁等参单元有限单元法崔向阳02:2715232131221111432122dddsafsysafsyssssyfSsTVbTemfafmfafmfmfNNNNafSfVfyyfNNfeeeeefdmdk假设梁单元沿x方向有均布外力fy，两端点分别有集中力fs1，fs2和集中力矩ms1,ms2，则总节点力向量为：薄梁等参单元有限单元法崔向阳02:2716剪切梁只有当梁的高度远小于跨度时（一般l/h5为细长梁，其计算误差满足工程精度），才能忽略横向剪切变形的影响。而高梁的情况下，梁内的横向剪切力将产生剪切变形并引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，但仍假定截面保持平面。薄梁单元基础上引入剪切变形的梁单元（C1）挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元（C0）20201221LLeUGAdvdxkdxxEIddxd修正系数有限单元法崔向阳02:2717剪切梁薄梁单元基础上引入剪切变形的梁单元11121222bbbebbvdvdvdxdxvq()bebbvxNq对于弯曲引起的挠度，采用薄梁的三次多项式插值函数：参见经典梁的表达形式有限单元法崔向阳02:2718剪切梁12()svxaax位移插值函数节点位移条件12(0)()ssvvvLv11212sssavvvaL()sessvxNq12sessvvq1sxxLLN对于剪切引起的附加挠度，采用线性插值函数：sdvdvdxdx剪应变20201122LLeUEIdGAdxdxkxd有兴趣的同学可以根据推导单元刚度矩阵此处不做讲解！！！！！有限单元法崔向阳02:2719剪切梁挠度和转角独立插值的Timoshenko梁单元11121222vvNNNNv采用线性插值函数，可以得到：121211(1)esdvxxvvdxLLLLBq剪应变121xxNNLLN梁的曲率1211ebddxLLBq11(1)sxxLLLLB1100bLLB1122evvq有限单元法崔向阳02:2720剪切梁0000010100000101ebEILK22221122232611222623esLLLLLLGALLkLLLLLK20201122LeLGAdUEIdxdxkdx2()2LxL令111122eeeTTbsbbssEILkGALddKKKBBBB有限单元法崔向阳02:2721剪切梁当h/l趋于0时（即梁很薄）时，希望剪应变为零121221112111(1)()()0dvxxxvvvvdxLLLLLL要使该式在梁单元内恒成立，不仅常数项为零，还必须一次项为零，因此要求121122()1xxxLL从而这意味着梁不能发生弯曲，与真实情况相违背，这种现象称为剪切锁死(shearlocking)。有限单元法崔向阳02:2722剪切梁0dvdx在剪切应变的表达式中，和的函数表达式不是相同的阶次，无法恒满足细长梁的约束条件dvdx换句话说，在梁很薄的情况下，不适当地夸大了剪切应变能的量级造成了剪切锁死现象。克服“剪切锁死”，可以采用的方案减缩积分（reducedintegration）假设剪切应变（assumedshearstrains）有限单元法崔向阳02:2723剪切梁111122eeeTTbsbbssEILkGALddKKKBBBB在计算的积分时，不采用精确积分，而用一点积分（单元的中心）来计算，这样相当于将原来的线性变化关系改为常数(中点平均值)，使得和保持同阶，就有可能做到使细长梁的约束条件恒得到满足。esKdvdx0dvdx如此，考虑剪切变形的Timoshenko梁单元也可以用于细长梁的分析。有限单元法崔向阳02:2724剪切梁22221122232611222623esLLLLLLGALLkLLLLLK22221122242411222424esLLLLLLGALLkLLLLLK精确积分减缩积分有限单元法崔向阳02:2725薄梁例题P=1000N0.5m0.06m0.1mE=69GPa=0.332()36FxvxlxEI33BFlvEI22BFlEI有限单元法崔向阳02:2726薄梁例题第一步:求单元刚度矩阵3364110.10.061.810m1212zIbh9636-230.7530.7569101.8100.750.250.750.12530.7530.7520.250.750.1250.750.2530.7530.750.750.250.750.1253,97410Nm30.7530.750.750.1250.750.25eKk有限单元法崔向阳02:2727薄梁例题111162222?30.7530.75?0.750.250.750.1253,9741030.7530.7500.750.1250.750.25vQMvQPM