第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答1、给出数据点:013419156iixy(1)用012,,xxx构造二次Lagrange插值多项式2()Lx,并计算15.x的近似值215(.)L。(2)用123,,xxx构造二次Newton插值多项式2()Nx,并计算15.x的近似值215(.)N。(3)用事后误差估计方法估计215(.)L、215(.)N的误差。解:(1)利用012013,,xxx,0121915,,yyy作Lagrange插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()iiixxxxxxLxlxyxx代入可得2151175(.).L。(2)利用123134,,xxx,1239156,,yyy构造如下差商表：ixiy一阶差商二阶差商１９３１５３４６－９－４于是可得Newton插值多项式：229314134196()()()()()Nxxxxxx代入可得215135(.).N。(3)用事后误差估计的方法可得误差为0222203-x150xxx-=117513506563-04.()()()(..).xfLRLxNxxx3222203-154xx-=1175135-1.0938-04.()()()(..)xxfNRxLxNxxx2、设Lagrange插值基函数是0012()(,,,,)njijijjixxlxinxx试证明:①对x,有01()niilx②00110001211()()(,,,)()()nkiiinnklxknxxxkn其中01,,,nxxx为互异的插值节点。证明：①由Lagrange插值多项式的误差表达式101()()()()()!nniifRxxxn知，对于函数1()fx进行插值，其误差为0，亦即0()()niiifxlxf精确成立，亦即01()niilx。②分别取被插值函数()kfxx，当kn时Lagrange插值多项式的误差表达式1001()()()()()!nniifRxxxn，即0()()niiifxlxf，亦即0()nkkiiilxxx，对于0k，由①可知结论成立；对于12,,,kn时，特别地取0x，则有000()nkiiilx；而当1kn时知其Lagrange插值误差为1001()()()()()()!nnniiiifRxxxxxn，于是有0()()()niiifxlxfRx，即1100()()nnkkiiiiixlxxxx，特别取0x可得1201010011()()()nknniinnilxxxxxxx，证毕。8、考虑构造一个函数01()([,])xfxex的等距节点函数表，要使分段Hermite插值的误差不大于41102，最大步长h应取多大？解：由等距分段Hermite插值的误差表达式4444401110423842()()max()!xhhRxfxe从而可得0.2899h10.已知f(0)，f(2)，f′(2)，使用Lagrange型插值基函数法构造二次Hermite插值多项式H2(x)，使其满足插值条件H2(0)=f(0)，H2(2)=f(2)，H′2(2)=f′(2)，并写出H2(x)的截断误差。解：设H2(x)=h0(x)f(0)+h2(x)f(2)+h2(x)f′(2)为满足插值条件（1）h0(0)=1h0(2)=0h′0(2)=0且h0(x)为二次多项式设h0(x)=0-2+=+0-2xlxaxbaxb由h0(0)=1h′0(2)=0得=12+=0bab1=-,=12ab201hx-24x（2）h2(0)=0h2(2)=1h′2(2)=0且h2(x)为二次多项式设h2(x)=2+=+2xlxcxdcxd由h2(2)=1h′2(2)=0得2+=14+=0cdcd1=-,=22cd221hx-+4xx（3）h2(0)=0h2(2)=0h′2(2)=1且h2(x)为二次多项式设h2(x)=-2xx由h′2(2)=1得2λ=1λ=1/221hx-22xx所以综上，2202=0+2+hxHxhxfhxffx22111=-20+-2+-22442xfxxfxxf关于截断误差22x=-RfxHx构造关于t的辅助函数2=-xtgtftRx其中2202=--=-2ttxtxttgt存在四重根由罗尔定律，存在ξ使得3323!=-x=0gfRx32x=3!fRx（其中2=-2xxx）13、试构造一个Hermite三次多项式3()Hx逼近函数()fx，满足以下条件。3333000111003110''''()(),()()()(),()()HfHfHfHf解：方法一、取0101,xx，由Hermite插值1100'()()()()iiiiiifxhxyhxyRx，11300'()()()iiiiiiHxhxyhxy，其中22001122111001()()()xxhxxx，2211012320110()()xxhxxx，22010101()()()xhxxxx，22101110()()()xhxxxx代入可得323103593()()()Hxhxhxxxx。方法二：ixiy一阶二阶三阶0000-31114110-1-52233203451593()()Hxxxxxxxx14、试判断下面函数是否为三次样条函数：①33301001112[,)()[,)()[,]xfxxxxxx②23211022101[,)()[,]xxxfxxxx解：三次样条函数的定义：①整体二阶连续，即`,;SxCab②在每个小区间i+1,ixx上，S(x)是三次多项式（i=0,1,2…n-1）；③满足插值条件`==1...iSxyin分析①：0-0=0f=00-0=6x=0xf=01-0=6x=6xf=11+0=6x+6-1=6xfxfx在-1,2上为二阶连续，易知①②③均成立所以①式为三次样条函数分析②：0-0=0f=00-0=12x=0xffx在-1,2上为二阶不连续所以②式不是三次样条函数