第五章换元积分法

1能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.一.凑微分法(第一换元法)例1计算cos2xdx分析:此不定积分在积分表中查不到.§5.2换元积分法为了求出更多函数的不定积分,下面建立一些有效的积分法.因为被积函数cos2x的变量是“2x”,与积分变量“x”不同.但如果能把被积表达式改变一下,使得被积函数的变量与积分变量变得相同,那么就可用公式cossinuduuC求出此不定积分.(u是x的函数)212222coscos()xdxxdx122cosuxudu令1222cos()xdx12sinuC122sinuxC回代注:这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d()使原积分变成可直接用积分公式来计算.这种方法称为凑微分法.其理论依据为122dxdxQ解x2cosxdx3定理4()(),(),fuduFuCux设且具有连续导数则[()]()[()].fxdxFxC证利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.[(())](())()uxFxCFufxx注1.定理4中,若u为自变量时,当然有()()fuduFuC当u换为(x)时,就有[()]()[()]fxdxFxC成立.——不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.注2.凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.即[()]()fxxdx凑[()]().fxdx成立.4(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把dx凑成d(x).如22211(2).22xxxedxedxeC(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:lnxdxx以下常见的凑微分公式！322lnln(ln)3xdxxC511.()dxdaxa112.(1),1xdxdx1()(,,0)daxbabaa为常数24.(arcsin)(arccos)1dxdxdxx1(2)dxdxx3.,lnxxaadxda,xxedxde()xxeedxd25.(arctan)(cot)1dxdxdarcxx6.ln,dxdxxln(1)1dxdxx7.sincos,cossinxdxdxxdxdx6例2求下列各不定积分321(2).xedx1(2)(1)32232dxdxxx解332211322(2)13xxedxedx解（）结论1:1()()()faxbdxfaxbdaxba8.(sincos)(cossin)xxdxdxx29.(21)()xdxdxx210.tancosdxdxx211.cotsindxdxx1(32)232dxx1ln322xC32123xeC(1);32dxx722(3)dxax111[]2dxaaxax解原式1111()()22daxdaxaaxaax11lnln22axaxCaa1ln2axCaax22(4)(0)dxaax22(1())dxxaa解原式2()(1())xadaxaa2()(1())xdaxaarcsinxCa822(5)dxax22(1())dxxaa解原式22()11()xadaxaa2()11arctan1()xdxaCxaaaa例3求不定积分2332(1)23xdxxx33(23)23dxxxx解原式3ln23xxC结论2:'()ln()()fxdxfxCfx(2)tanxdxsincosxdxx解原式coscosdxxlncoslnsec.xCxC9同理可得cotlnsinlncscxdxxCxC1ln(3)xdxx1lnlnxdx解原式1ln(1ln)xdx322(1ln)3xC例4求下列各式的不定积分(4)1xxedxe(1)1xxdee解原式21xeC2(1)34xdxx221234dxx解原式221(34)3234dxx21343xC10结论3:11()()()nnnnxfaxbdxfaxbdaxbansin(4)xdxx232(2)(1)xxdx3231(1)(1)3xdx解原式331(1)9xC211(3)cosdxxx11cos()dxx解原式1sinCx2sinxdx解原式2cosxC11(5)secxdx1cosdxx解原式或原式tansecsectansecxxxdxxx同理可得csclncsccotxdxxxC22cossincos1sinxdxdxxx11sinln21sinxCx211sinln2cosxCx2sectansectansecxxxdxxx(sectan)tansecdxxxxlnsectanxxClnsectanxxC122(1)sinxdx1cos22xdx解原式1[cos2]2dxxdx11cos2(2)24dxxdx11sin224xxC例5求下列各式的不定积分同理可得211cossin224xdxxxC结论4:一般地,对形如sin,cosnnxdxxdx3(2)sinxdx2sincosxdxx解原式2(cos1)cosxdx31coscos.3xxc这样的不定积分当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；132(3)sincosxxdx231sinsinsin3xdxxC解原式sincosnmxxdx一般地,对形如这样的不定积分若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；若同为偶，则化为sin,cosnnxdxxdx来积分.1sin22nnmxdx若，则化为（）来积分.14(4)sinsinmxnxdx1[cos()cos()]2mnxmnxdx解原式对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.sin()sin()2()2()mnxmnxCmnmn15(5)求解.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx16例6求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个常数.如17解例7设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf18练习1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxx22214)4(dxxxx2121xx4)4(d22221)(1)d(xx[]xxd44122)2(4x)2(dx192.求提示:法1法2法310)x10dx10110(x10dx10120练习习题5--2P154页题1.题2（1—18）单数。21二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求fxxdx[()]()uxfudu()()若所求积分fxxx[()]()d易求,则得第二类换元积分法.难求，fudu()221xdxx求注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换1(0)xtt21xt即2dxtdt221ttdtt原式()fxdx[()]()fttdt从而222122[1]11tdtdttt22arctan212arctan1tttCxxC回代注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分求出此积分后回代t的方法称为第二换元积分法.化为积分(较易积出)23定理5设函数ƒ(x)连续,x=(t)单调可微,且,而()0t[()]()(),fttdtFtC1()[()]fxdxFxC证明[()]()(),()[()](),fttdtFtCFtftt则Q1{[()]}[()]txFxCFtt1()[()]fxdxFxC在此方法中要注意两个问题:[()]()ftt1.函数的原函数存在.2.要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一.1()tFtx1[()]()(())()()fttftfxt则)()]([ttf24注1:第二换元积分法是先换元,再积分,最后回代.这与凑微分法(先凑后换元)不一样.naxb2222,.nnaxxa2222,.axxa注2:第二换元积分法主要用来求解被积函数为无理函数的不定积分.换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分.分两类讲:1.根号里是一次式的,即2.根号里是二次式的,即等。主要讲1.被积函数含有的因子时,可令(0,)naxban为正整数,ntaxb例1求下列积分化简函数后再积分.251(1)11xdxx222112,1(1)xtdttxdxxtt解令则2112xtxtdxtdt解令22211tttdtdttt原式211122[(1)]11tdttdttt22(1)ln1(11)ln11ttCxxC22222(1)22(1)1tttdttdttt原式212[1]1dtt11(2)xdxxx,ntaxb26434224,xtxtdxtdt令则4(3)22dxxx()请同学们自行求解3(4)dxxx32224114411tdttdttdttttt原式14(1)1tdtt214[ln(1)]2tttC4414[22ln(21)]2xxxCCxxxxxxCttt1111ln1211ln22722ax22ax22xasin(),22xatt令22122(tan)sec.axatat则22122(sec)tan.xaatat则22122(sin)cos.axatat则tan(),22xatt令sec(0),2xatt令但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况作不同的三角代换,作法如下：2222,(0)axxaa2.被积函数含有的因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化.)0(,2222aaxxa28例2.求.)0(d22axxa解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tac