第五章数列

第1页共62页第五章数列第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分类单调性递增数列∀n∈N*，an＋1an递减数列∀n∈N*，an＋1an常数列∀n∈N*，an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an第2页共62页[小题体验]1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为________．答案：an＝2n－1(n∈N*)2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋3，则a5等于________．答案：11613．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x－1x，设an＝f(n)(n∈N*)，则{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．[小题纠偏]1．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________．答案：an＝2，n＝1，2n－1，n≥22．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．答案：4或5考点一由数列的前几项求数列的通项公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数，②an＝1＋－1n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝sinnπ2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解析：选A检验知①②③都是所给数列的通项公式．第3页共62页2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1，n∈N*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题．考点二由an与Sn的关系求通项an重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.第4页共62页(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.[由题悟法]已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[即时应用]已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.第5页共62页考点三由递推关系式求数列的通项公式常考常新型考点——多角探明[命题分析]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an；(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an.[题点全练]角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an1．在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解：∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n.角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．(1)(2015·江苏高考改编)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．解：(1)由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.又∵a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2＋n2(n∈N*)．(2)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.第6页共62页角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.角度四：形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．解：∵an＋1＝2anan＋2，a1＝1，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝1，则1a1＝1，∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴an＝2n＋1(n∈N*)．[方法归纳]典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1＝anf(n)叠乘法a1＝1，an＋1an＝2nan＋1＝Aan＋B(A≠0,1，B≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)化为等差数列a1＝1，an＋1＝3an2an＋3一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·宝鸡一检)设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为()A．4B．6C．8D．10解析：选Ca4＝S4－S3＝20－12＝8.2．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an＝()第7页共62页A.n2n＋1B.n2n－1C.n2n－3D.n2n＋3解析：选B由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n－1.3．(2015·哈尔滨二模)下列说法正确的是()A．数列1，－2,3，－4，…是一个摆动数列B．数列－2,3,6,8可以表示为{－2,3,6,8}C．{an}和an是相同的概念D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的解析：选A对于A，摆动数列是指从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，故A正确；数列与数集是不同的，故B错误；{an}和an是不同的概念，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，而an表示的是这个数列的第n项，故C错误；每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的，故D错误．4．(2015·黄冈月考)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝1，n＝1，2n－3，n≥2D．an＝1，n＝1，2n＋3，n≥2解析：选C当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为C.5．(2015·杭州三模)数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝1＋an2，n为偶数，1an－1，n为奇数，若an＝14，则n的值为()A．7B．8C．9D．10解析：选C因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝1a2＝12，a4＝1＋a2＝3，a5＝1a4＝13，a6＝1＋a3＝32，a7＝1a6＝23，a8＝1＋a4＝4，a9＝1a8＝14，所以n＝9.二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()第8页共62页A.－1n＋12B．cosnπ2C．cosn＋12πD．cosn＋22π解析：选D令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．2．数列{an}满足an＋an＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()A．5B.72C.92D.132解析：选B∵an＋an＋1＝12，a2＝2，∴an＝－32，n为奇数，2，n为偶数.∴S21＝11×－32＋10×2＝72.3．(2015·石家庄二模)在数列{a