第五章静电场习题解答

1第5章静电场习题解答5.1一带电体可作为点电荷处理的条件是（C）（A）电荷必须呈球形分布。（B）带电体的线度很小。（C）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。（D）电量很小。5.2图中所示为一沿x轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+（x0）和-（x0），则oxy坐标平面上点（0，a）处的场强E为：（B）(A)0(B)02ai(C)04ai(D)02aij5.3两个均匀带电的同心球面，半径分别为R1、R2(R1R2)，小球带电Q，大球带电-Q，下列各图中哪一个正确表示了电场的分布（d）(A)(B)(C)(D)5.4如图所示，任一闭合曲面S内有一点电荷q，O为S面上任一点，若将q由闭合曲面内的P点移到T点，且OP=OT，那么（d）(A)穿过S面的电通量改变，O点的场强大小不变；(B)穿过S面的电通量改变，O点的场强大小改变；(C)穿过S面的电通量不变，O点的场强大小改变；(D)穿过S面的电通量不变，O点的场强大小不变。5.5如图所示，a、b、c是电场中某条电场线上的三个点，由此可知（c）(A)EaEbEc；(B)EaEbEc；(C)UaUbUc；(D)UaUbUc。5.6关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是（c）(A)如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；(B)如果高斯面上E处处不为零，则该面内必无电荷；(C)如果高斯面内有净电荷，则通过该面的电通量必不为零；(D)如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。5.7下面说法正确的是[D](A)等势面上各点场强的大小一定相等；(B)在电势高处，电势能也一定高；(C)场强大处，电势一定高；(D)场强的方向总是从电势高处指向低处.5.8已知一高斯面所包围的体积内电量代数和0iq，则可肯定：[C]（A）高斯面上各点场强均为零。（B）穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。O1R2RErO1R2RErO1R2RErqOSTPO2RE1Rrabc2（C）穿过整个高斯面的电通量为零。（D）以上说法都不对。5.9一个中性空腔导体，腔内有一个带正电的带电体，当另一中性导体接近空腔导体时，（1）腔内各点的场强（B）(A)变化；(B)不变；(C)不能确定。（2）腔内各点的电位（c）(A)升高；(B)降低；(C)不变；(D)不能确定。5.10对于带电的孤立导体球（B）(A)导体内的场强与电势大小均为零。(B)导体内的场强为零，而电势为恒量。(C)导体内的电势比导体表面高。(D)导体内的电势与导体表面的电势高低无法确定。5-11当一个带电导体达到静电平衡时：[答案D]（Ａ）表面上电荷密度较大处电势较高（Ｂ）表面曲率较大处电势较高（Ｃ）导体内部的电势比导体表面的电势高（Ｄ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零5.12极板间为真空的平行板电容器，充电后与电源断开，将两极板用绝缘工具拉开一些距离，则下列说法正确的是（D）(A)电容器极板上电荷面密度增加；(B)电容器极板间的电场强度增加；(C)电容器的电容不变；(D)电容器极板间的电势差增大。5.13如图所示，边长分别为a和b的矩形，其A、B、C三个顶点上分别放置三个电量均为q的点电荷，则中心O点的场强为204aq方向由O指向D。5.14在场强为E的均匀电场中取一半球面，其半径为R，电场强度的方向与半球面的对称轴平行。则通过这个半球面的电通量为ER2，若用半径为R的圆面将半球面封闭，则通过这个封闭的半球面的电通量为0。5.15A、B为真空中两块平行无限大带电平面，已知两平面间的电场强度大小为0E，两平面外侧电场强度大小都是0E/3，则A、B两平面上的电荷面密度分别为0032E和0034E。5.16电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．正三角形的边长是a。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解：（1）如题图示。由对称性，可以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q为负电荷20220)33(π4130cosπ412aqqaqABC60baODAB3解得qq33(2)与三角形边长无关．5.17长L=15cm的直导线AB上均匀地分布着线密度为9105C/m的电荷。求在导线的延长线上与导线一端B相距d=5cm处P点的场强。解：建立如图所示的坐标系，在导线上取电荷元xd。电荷元xd在P点所激发的场强方向如图所示，场强大小为20)(41xdLxEPdd导线上电荷在P点所激发的总场强方向沿x轴正方向，大小为)/(675)20.0105.01(105109)11(4)(41990020mVLddxdLxEELPPdd5.18如图所示，长为l、电荷线密度为的两根相同的均匀带电细塑料棒，沿同一直线放置，两棒近端相距l，求：两棒之间的静电相互作用力（如图建立坐标系）。解：在左边直线上取微元dx，电荷为ddqx它在右边直线上'x处的电场强度：20dd4xExx左边直线在右边直线上'x处的电场强度：200dd4lxEExx0114xlx因而右边带电直线'x处的微元d'x所受到的静电场力为ddFEx＝右边带电直线所受到的静电场力为：30211dd4llFExxxlx＝3220'4'llxllnx204ln435.19半径R为50cm的圆弧形细塑料棒，两端空隙d为2cm，总电荷量为91012.3C的正电荷均匀地分布在棒上。求圆心O处场强的大小和方向。解：电荷线密度dRQ2，任取线元ddRl，d为线元对圆心O点的圆心角则电荷元电量为dddRlQ，电荷元在圆心O点的场强为20d41dRREcosd41d20RREy000y20009922sincosdEdEd4R4R4R3.12100.029100.72(V/m)20.50.020.54近似解法)/(72.04120mVRdE5.20无两条无限长平行直导线相距为0r，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为，如图所示。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（按图示方式选取坐标，该点到带电线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。答案：（1）设点P在导线构成的平面上，E、E分别表示正、负带电导线在P点的电场强度，则有012Eix（2分）0012Eirx（2分）-000001122()EEEixrxrixrx（2分）（2）设F、F分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有2002FFir（2分）2002FFir（2分）显然有FF，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。显然有FF，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。题号：30123015分值：10分难度系数等级：35.21一段半径为a的细圆弧，对圆心的张角为0，其上均匀分布有正电荷q，如图所示，（1）试以a、q、0表示出圆心O处的电场强度。答案：如图选择坐标系。在圆弧上取一小电荷元，0ddqqRR（2分）在O点处激发：22000ddd44qqERR（3分）由于对称性，0022sind0xEE，（2分）q0ao图301220155000002222000022cosdcosdsin422yqqEERR（3分）522在半径为R，电荷体密度为的均匀带电球内，挖去一个半径为r的小球，如图所示。试求：PP、各点的场强。(PPOO、、、在一条直线上。)5．解：应用场强叠加原理求解P点场强大小为))((3)(34413441230230230POOOPOOOPOPOPOrPRPPrrrrrrrrrEEE场强方向沿x轴方向，正值沿x轴正方向。P点场强大小为))((3)(3441344123230230230OPOOOPOOOPOPPrPRPrRrrrrrrrREEE场强方向沿x轴方向，正值沿x轴正方向。23设在半径为的球体内电荷均匀分布R，电荷的体密度为，求带电球体内外的电场分布.解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球心向外辐射，在以O为圆心的任意球面上各点的E相同。（1）球内任一点P1的?E以O为球心，过P1点做半径为1r的高斯球面S1，高斯定理为：∵E与Sd同向，且S1上各点E值相等，∴214111rEdSEdSESdEsssRrOOPPRrOOPPx内1101SsqSdE6313031300343411rRqrRqqS内3130214rRqrE∴1304rRqEE沿OP方向。（若0q，则E沿OP1方向）结论：1rE注意：不要认为S1外任一电荷元在P1处产生的场强为0，而是S1外所有电荷元在P1点产生的场强的叠加为0。（2）球外任一点P2的?E以O为球心，过P2点做半径为2r的球形高斯面S2，高斯定理为：内2201SsqSdE由此有：qrE022142204rqEE沿2OP方向结论：均匀带电球体外任一点的场强，如同电荷全部集中在球心处的点电荷产生的场强一样。E134rRq)(1Rr204rq)(RrrE曲线如左图。9.24（1）地球表面的场强近似为200V/m，方向指向地球中心，地球的半径为6.37106m。试计算地球带的总电荷量。（2）在离地面1400m处，场强降为20V/m，方向仍指向地球中心，试计算这1400m厚的大气层里的平均电荷密度。解：设地球带的总电量为Q，大气层带电量为q。（1）根据高斯定理024QRE地球带的总电量为)(109)1037.6(10912004526902CREQ（2）根据高斯定理02)(4qQhRE1400m厚的大气层带电量为75526920101.8109)14001037.6(109120)(4QhREq大气层的平均电荷密度为512326233qq8.1101.1310(C/m)44Rh4(6.3710)1400(rR)325电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心r处(rR)的电势。1．解：由高斯定理当rR时，20141rQE当rR时，rRQrrRQE302330241343441以无穷远处为参考点，球内离球心r处的P点的电势为RRrPPlElElEVPddd12沿径向路径积分得PP22RRPP21323rRrR000Q(3Rr)1Q1Q1VEdrEdrrdrdr4R4r42R26如图所示，半径为R=8cm的薄圆盘，均匀带电，面电荷密度为2C/m5102，求：（1）垂直于盘面的中心对称轴线上任一点P的电势（用P与盘心O的距离x来表示）；（2）从场强与电势的关系求该点的场强；（3）计算x=6cm处的电势和场强。解：取半径为r，宽为dr的圆环为电荷元，其电量为rrqd2d电荷元在P点的电势为220220d241d41drxrrrxqV（1）带电