第八章1粘性流体动力学基础

第八章粘性流体绕过物体的流动§8.1以应力表示的粘性流体运动微分方程§8.2应力和变形速度的关系§8.3纳维—斯托克斯方程§8.4附面层的基本概念§8.5附面层动量方程§8.6曲面附面层的分离现象和卡门涡街§8.4流体流动的初始条件和边界条件控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。粘性流体微团受到的力:质量力法向力切向力代表切向应力fx、fy、fz代表质量力p代表法向应力§8.1以应力表示的粘性流体运动微分方程BCDEGHMFAabcdefxyz2dxxppxxxx2dxxppxxxx2dzzzxzx2dzzzxzx2dyyyxyx2dyyyxyx§8.1以应力表示的粘性流体运动微分方程xyzx方向流体微团受到的力法向力切向力质量力dxdydzfxdydzdxxppdydzpxxxxxx)(dzdxdyydyydxdydzzdzzyxyxyxyxzxzxzxzx2222惯性力dtdvdxdydzx§8.1以应力表示的粘性流体运动微分方程x方向的运动微分方程应用牛顿第二定律：dxdydzzydxdydzxpdxdydzfdtdvdxdydzzxyxxxxx§8.1以应力表示的粘性流体运动微分方程)(11zyxpfdtdvzxyxxxxx以应力表示的粘性流体运动微分方程式:)(11)(11)(11yxzpfdtdvxzypfdtdvzyxpfdtdvyzxzzzzzyxzyyyyyzxyxxxxx§8.1以应力表示的粘性流体运动微分方程一、切向应力§8.2应力和变形速度的关系根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。02)2(2)2(2)2(2)2(dxdydzdxdydzdxxdxdydzdxxdydxdzdyydydxdzdyyMyxxyxyxyxyxyyxyxyxyxyxxy同理xzzxzyyzyxxy1、切向应力之间的关系2dxxxyxy2dyyyxyxdydxM2dyyyxyx2dxxxyxy意义：作用在两相互垂直平面上，且与该两平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。一、切向应力(续)2、切向应力的表示dtddydv牛顿内摩擦定律)(yvxvxyyxxyXoy面上速度梯度等于角变形速度yvxvdtdxyz2)()()(xvzvzvyvyvxvzxxzzxyzzyyzxyyxxy同理代入得，§8.2应力和变形速度的关系xvyvθ12θddABCDB'C'D'dyyvvxxdxxvvyy二、法向应力ppppzzyyxx理想流体zvppyvppxvppzzzyyyxxx222粘性流体)(31zzyyxxpppp§8.2应力和变形速度的关系ABCDC'D'θdθττpnxxnE§8.3纳维—斯托克斯方程)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfdtdvzzzzzyyyyyxxxxx直角坐标:将应力和变形速度的关系代入以应力表示的粘性流体运动微分方程式,就可得到N—S方程:一、实际流体的N-S方程代表应力，包括切应力和附加压应力圆柱坐标:)11(1)211(1)211(122222222222222222222222222zvvrrvrrvzpfzvvvrvrvvtvzvvrvrrvrvrrvprfzvvrvvvrvrvvtvzvvrvrrvrvrrvrpfzvvrvvrvrvvtvzzzzzzzzzrzzrrrrrrrrrzrrrr§8.3纳维—斯托克斯方程§8.3纳维—斯托克斯方程可将N—S方程改写成为:二、实际流体的运动微分方程的积分)(2)2()(2)2()(2)2(222222yxxyzzFxzzxyyFzyyzxxFvvtvvvpzvvtvvvpyvvtvvvpx(1)质量力是有势的(2)流体不可压缩，流体是正压流体前提条件0)2(2222dzvdyvdxvvpdzyxF方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个轴向分量dx,dy,dzdtvvvdzvvdzvdzvpzdtvvvdyvvdyvdyvpydtvvvdxvvdxvdxvpxzyxxyyxxyzFyxzzxxzzxyFxzyyzzyyzxF)(2)(2)2()(2)(2)2()(2)(2)2(222222三式相加0)2(2wdhgvpzd表示切应力作功§8.3纳维—斯托克斯方程二、实际流体的运动微分方程的积分沿流线由点1到点2积分whgvpzgvpz2222222111不可压缩均质实际流体恒定流的伯努利方程应用条件：1、不可压缩均质流体，密度为常数2、质量力有势3、恒定流4、限于同一条流线上各点的总机械能保持不变有分流和合流的能量方程0)2(2wdhgvpzd令：21wwdhh§8.4流体流动的初始条件和边界条件0)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfdtdvzyxzzzzzyyyyyxxxxx方程组§8.4流体流动的初始条件和边界条件一、初始条件：指方程组在初始时刻应满足的条件zyxptzyxpzyxvtzyxvzyxvtzyxvzyxvtzyxvzozyoyxox,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,00000时，给出：在初始时刻0tt如果是恒定流动，就不必给出初始条件。§8.4流体流动的初始条件和边界条件二、边界条件：指方程组在流场的边界上应满足的条件1、固体壁面：固壁无滑移条件wzyxfzyxvvvvvv,,,,2、两种液体的分界面：分界面两侧液体的速度、压强保持连续2121,ffffppvv3、自由液面：即液体与大气的分界面0,0pp4、管道的出入口：入口和出口断面的流速和压强分布§8.4流体流动的初始条件和边界条件例：设实际流体在很长的水平圆管内作有压恒定均匀流（层流）运动，已知管径为d，流速Vx=V（y，z），Vy=Vz=0。试用N-S方程求解过流断面上速度分布。xyzOθr解：列出方程组，根据题意简化方程组001)(101)(10)(1)(12222222222222222222222xvzvyvxvzpgzvyvxvzpfdtdvypzvyvxvypfdtdvyvxvxpzvyvxvxpfdtdvzyxzzzzzyyyyyxxxxx（1）（2）（3）（4）由（2）、（3）式可知，测压管水头沿圆管断面为常数，只与x有关。因此（1）式可改写为：dxdpzvyv1)(2222lpdxdp常数§8.4流体流动的初始条件和边界条件§8.4流体流动的初始条件和边界条件为了便于积分，在oyz平面内引进极坐标（r，θ），如图所示。由于管流的对称性，0vrvzyv,极坐标下的N-S方程可改写为：lpdrdvrdrdrdxdprvrrv或122122Clprdrdvr，得：当0,0drdvr01Clprdrdvr22xyzOθr§8.4流体流动的初始条件和边界条件lprdrdvr22rdrlpdv21224Clprv当r=r0=d/2时，v=0,得：lprC4202220202444rrlplprlprv一、附面层§8.5附面层的基本概念1.附面层的概念在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称为边界层。边界层在实际应用中规定从固体壁面沿外法线到速度达到势流速度的99%处的距离为边界层的厚度。2.附面层的厚度一、附面层（续）3.附面层的特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层（1）与物体的长度相比，附面层的厚度很小；（2）附面层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；（3）附面层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）附面层中各截面上的压强等于同一截面上附面层外边界上的压强；（5）在附面层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；（6）附面层内流体的流动存在层流和紊流两种流动状态。§8.5附面层的基本概念一、附面层（续）4.判别附面层层流、紊流的准则数特征过渡区域层流边界层粘性底层紊流边界层Rexvxx—离物体前缘点的距离临界雷诺数§8.5附面层的基本概念5100.5~5.3Rek二、管流附面层§8.5附面层的基本概念流体在圆形直管的进口段内流动时的边界层厚度为：)(Re0575.00滞流边界层dx式中，u为管截面的平均流速。duRe)(Re5.618/7滞流内层db§8.4附面层的基本概念沿取出一个微小控制体§8.6附面层动量方程ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCAAB面流入的质量和动量：AC面流入的质量和动量：单位时间沿x方向经控制面的动量通量：CD面流出的质量和动量：0dyvx02dyvx0202dyvxdxdyvxx00dyvxdxdyvxx0dyvxdxx002][dyvxUdyvxdxxxdyvxUdxx0ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCAAB面上的总压力：沿x方向诸外力之和为：CD面上的总压力：AC面上的总压力：p()()ppdxdxBD面上的切向力：dxw§8.6附面层动量方程dsdxxpp21dxxpdxddxxppddxxpppww21ydyvxdxwdpdxxppdxxpp21xvBDCA根据动量方程，得§8.6附面层动量方程dxxpdyvxUdyvxdxwxx0