第八章指数模型

第8章指数模型上海金融学院•金融机构对资产组合理论的应用始于研究突破了：简化投资组合分析所需数据的类型和数量；简化计算最优组合时的计算程序•首先讨论简化投资组合问题的输入数据的问题•分析历史最长、应用最广泛的投资组合结构简化方法：单指数模型•首先回顾到投资组合问题，为了确定有效边界，必须确定投资组合收益的期望收益值和标准差•期望收益计算中，我们需要估计每一种可能涵盖进投资组合的备选证券的期望收益；方差计算中我们需要估计每种证券的方差和相关系数2/1111221][()(NjNkjkjkkjkjNiiiPNiiiPXXXREXRE马科维茨模型缺陷•协方差矩阵需要大量的估计值假设需分析50个股票，则需估计：n=50个期望收益的估计n=50个方差估计(n2-n)/2=1225个协方差估计若n=100,需估计5150，若n=3000,需估计450万个值•未对预测证券的风险溢价有任何指导作用1325个估计值•金融机构按行业划分分析师，一个分析师只跟踪某类行业股票•不能交叉的组织结构不利于相关系数的估计•促进了预测证券间相关结构模型的发展，其代表是单指数模型：股票间的协同运动源于单一的共同因素或指数。因素模型•因素模型（factormodel)是一种假设证券的回报率只与不同的因素波动（相对数）或者指标的运动有关的证券定价模型。依据因素的数量，可以分为单因素模型和多因素模型单因素模型（指数模型）•威廉·夏普（WilliamShape）在1963年发表《对于“资产组合”分析的简化模型》一文中提出。•夏普提出单因素模型的基本思想是：当市场股价指数上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场指数下滑时，大量股票价格趋于下跌。•用一种证券的收益率和股价指数的收益率的相关关系推导模型。单因素模型的提出•公司内部特有因素对每个公司的影响是不确定的，总体上说，这类因素对公司股价的影响的期望值为零，即随着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。•夏普提出实际影响因素只有一个，即宏观经济因素。单因素模型单因素模型是因素模型的一种具体形式。具体来说，单因素模型认为，任何资产的实际收益是由唯一的一个因素所决定的，并且该资产的实际收益率与该因素成线性关系。联合正态分布•二维随机变量(X,Y)是定义在同一样本空间上的一对随机变量•通常讨论二维随机变量，而不是单独讨论以为随机变量X，Y，其目标在于探讨X和Y二者之间的关系•例如，考察学龄前儿童身体发育情况，需观测身高X和体重Y。但通常不单独采集身高和体重数据，而是成对采集每个儿童身体和体重，把X和Y作为一个二元整体（X，Y）加以研究。）的联合分布函数为（上的二元函数，称定义在整个实平面）是一个二维随机变量，设（YX,),(),(YXyYxXPyxF)),((),(),(),(),(),(xyxyDYXPyxFDyxYXyxyxF内的概率，故点左下的无穷矩形区域为右上顶点，而位于该落在点是二维随即点处的函数值的几何意义在(x,y)分布规律。了二维随机变量的概率数完全刻画出即可求得。联合分布函内的概率取值于任一区域那么的联合分布函数，只要知道了2121,),(),(),(yyyxxxyxYXYX二维正态分布),,,,(~),(),(51,0,0,,121),(),(212121212)1(212212222212121212NYXYXeyxfYXxyxx记为服从二维正态分布。并个参数，则称是其中，的联合概率密度若二维随机变量单因素模型的提出•任何证券的收益率i通常都可以被分解为各种预期与非预期收益率之和，即•如果相关证券的收益率能够很好的为正态分布所刻画，那么这些证券是服从联合正态分布的。iiiiiieDeEerEr)(0)()(，其中，•假设引起证券市场收益变化的因素是一些影响所有公司的宏观经济变量m，则将不确定性因素分解为整个经济系统的不确定性(m)和特定公司的不确定性(ei)可得到：••m衡量未预期的宏观突发事件，ei仅衡量特定公司的突发事件,且二者相互独立。m与ei的协方差和相关系数均为0。miiimDmEemrEr)(,0)(,)(其中)()())((222imiiiieemVaremeEVar单因素模型的提出•共同因素m将证券关联起来，因为所有的证券均会对同一宏观经济消息做出反应，而各公司特有事件ei之间却没有联系•由于m与任意公司特有事件之间没有联系，任意证券i和j之间的协方差为：•某些证券对宏观经济的冲击更敏感，给每个公司引入敏感性系数，衡量这些细微的变化，用来表示公司i的敏感性系数，那么上式变为：2),cov(),cov(mjijiememrriiiiiemrEr)(单因素模型的提出•证券i的系统风险为，总风险为：•任意两种证券间的协方差也取决于其系数，iimiie22222),cov(),cov(mjijjiijiememrr单因素模型的提出•就是股票收益的单因素模型（single-factormodel）。•这个模型很简单，但是并未确定宏观经济因素到底包括哪些因素，尤其是各个宏观因素的权重无法确定，因此，单因素模型的有关系数估计不出来，缺乏实际应用价值。iiiiemrEr练习1.若单因素模型成立，任意两个证券之间的协方差将取决于其贝塔系数，即cov(ri,rj)=()imemimjimeDCBAi222222....8.2单指数模型观察股票市场，当股市上涨时，大多数股票价格上涨；股市下跌时，大多数股票价格下跌。这意味着，证券收益彼此相关的可能性是对市场变动的共同反映。用标普500这类股票指数的收益率视为共同宏观经济因素的有效代理指标，推导出和单因素模型类似的等式，称为单指数模型。8.2.1单指数模型的回归方程的期望值为零的随机项代表不敏感部分的期望值，代表收益中对市场收益量立于市场表现的随机变的一个组成部分，是独代表证券回归方程是表示观察样本的日期。配对，和样本回归，数据采用历史对，即用市场指数的敏感性系数估计一个证券对以用单变量线性回归来对于线性指数模型，可标准差为收益率为表示市场指数，其超额用teteitetetRtRttRtRRrrRrrRiiiiiiiMiiiMiMfiiMfMM,M22222)2(;10)2(0100,,00)cov(mmmeiijimmiiiimiiijijieiiimmimimiRREeEeeERReEeEeeRReeEeejiiRReEReRe）定义：（同反应而相互关联：证券仅通过对市场的共关：）指数与特有收益不相（通过假定：通过构建：均值基本方程：概括单指数模型：运动。其他原因导致股票协同不存在。这意味着除市场之外相互独立，有和而言，和设是，对所有前提下成立。其关键假单指数模型只是在假设析而得。是通过时间序列回归分不相关。即和为方便起见，令用单指数模型描述证券在协同运动下的期望收益、标准差和协方差222223)2()1(mjiijeimiimiiijiRERE之间的协方差：和）证券（证券收益方差：期望收益：8.2.4单因素模型的估计值iMiifMiiifMeerrrr222.5.4.3;.2.1导致的误差公司特定因素不确定性导致的误差共同宏观因素不确定性望收益部分与单个公司有关的未期由于意外事件导致的仅感度是证券对市场变化的敏的收益部分由于整体市场波动带来为零时的股票期望收益收益当市场为中性，即超额231122nREennnMMiii估计值个宏观经济因素方差的个市场溢价估计值值个公司特有方差的估计个敏感系数估计值个超额收益估计值需要估计的变量：•不足：•1、风险简单分为微观和宏观过于简单，忽略了比如行业的影响•2、假设非系统风险之间是相互独立的，而有些股票残差项有些是相关的指数模型与分散化PMPPPiMiiieRReRRn用下式求得投资组合超额收益率可收益率：，那么每种证券的超额种证券赋予相等的权重假设对随着投资组合包含股票数量的增加，由非市场因素引起的投资组合风险变得越来越小，市场风险却不论投资组合所包含公司数量大小依然保持不变。指数模型与分散化niiMniiniiniiMiiniiniiipienRnneRnRnRwRnw1111111)1(1)(111，超额收益率为：假设每种证券的权重为非市场成分敏感度对市场的敏感度零均值变量•从前面的推导中得知股票投资组合的方差为：NiNiNjijmiijieiiNimiipijiNiNiNjijijjiiipXXXXXXX11222122221122,表达式有：带入指数模型中PmPNieiimNjjjNiiiNiNjNieiimjijippmmmpppNiiipNiiipeXXXXXXREPRREREXX2222P1222112P1112222P1110)(P整理得：投资组合方差可写为：，那么，的期望收益必须等于的比例），则投资组合构建的持有比例等同于是市场组合（所有股票如果投资组合则：贝塔值定义组合的阿尔法值和iNiimmpmpPNieimppXNNNNN12/12212222/111风险趋于残差风险趋于零，组合的增加差，随着乘以投资组合的平均残最后一项表示险可以写为只股票，投资组合的风假设投资者等额投资于指数模型与分散化neep/22系统风险可分散的风险22Mp贝塔估计•单指数模型中需要估计潜在的包含在组合中的每只股票的贝塔•对未来贝塔的估计首先要利用历史数据估计历史贝塔，而后用历史贝塔来估计未来贝塔•证券分析需考察未来改变贝塔的影响因素点。报将在直线周围形成散的存在，意味着实际回随机变量。和计点都成立，可以直接估一常数，则同一方差在每在时间范围内被假定是和如果券和市场的收益。。我们能观察到的是证是不能被直接观察到的和时，成立。当观察历史数据这个方程在任何时点都股票收益可表示为：ieiiieiiieiiiimiiieeRR,,,估计单指数模型•惠普公司的证券特征线指数无关的因素的作用表示与标普增长率的敏感性尔表示惠普对预期标准普率惠普的个别或特有回报表示时刻的预期回报率标准普尔表示时刻惠普公司的回报率表示时刻其中：500500500500&500&HPHPHPPSHPHPPSHPHPHPttetRttRtetRtR回归统计MultipleR0.71363RSquare0.509268AdjustedRSquare0.345691标准误差4.437283观测值5方差分析dfSSMSFSignificanceF回归分析161.2995761.299573.1133160.175844残差359.0684319.68948总计4120.368Coefficients标准误差tStatP-valueLower95%Upper95%下限95.0%上限95.0%Intercept4.2699186.9812870.6116230.584018-17.947726.48749-17.947726.487495.72.0153721.1422041.7644590.17