第八章简单超静定问题.

第八章简单超静定问题§8-1概述§8-2拉压超静定问题目录*§8-3装配应力和温度应力§8-4扭转超静定问题§8-5简单超静定梁§8-1概述ABCF12CFN1FN3FN2FCFN1FN2F未知力数：2个独立方程数：2个仅靠静力平衡方程就能把结构的约束反力和内力解出的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。N1N2FF、未知力数：3个独立方程数：2个求不出N1N2N3FFF、、仅靠静力平衡方程不能求出全部约束反力和内力的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。DABC312FDABCF312多余约束CFN1FN3FN2F多余未知力（冗力）超静定次数：未知力数与方程数之差（多余约束或多余未知力的数目）321n431nDACFBFDABAyFAxFN2FN1FDABCF312超静定解法CFN1FN3FN2F平衡方程+补充方程建立补充方程的关键：根据变形协调条件建立变形几何方程（变形协调方程），再由物理方程（胡克定律），最后得到补充方程。为了求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。超静定解法：例8-1设杆系结构如图，已知：各杆长为：l1=l2=l、l3；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。CFABD123FAFN1FN3FN2解：平衡方程N1N20sinsin0xFFFN1N2N30coscos0yFFFFF（1）（2）§8-2拉压超静定问题N11111FllEAN33333FllEA几何方程（绘变形图）物理方程——胡克定律补充方程：由几何方程和物理方程得。（1）（2）（3）联立求解得:13cosllN11N331133cosFlFlEAEAN1N2332112coscosFFFEAEACABD123A11l2l3l（3）N33113312cosFFEAEACFABD123N1N2332112coscosFFFEAEAN33113312cosFFEAEA讨论：（1）在超静定杆系中，各杆的轴力和该杆的拉压刚度与其他杆的拉压刚度的比值有关。（2）若E1A1↑，则FN1↑；若E3A3↑，则FN3↑。即杆系中任一杆的拉压刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。（3）以上两个特点在超静定杆系存在，静定杆系中是不存在的。解超静定杆系的步骤（1）根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程。（2）根据变形协调条件，建立变形几何方程。（3）利用胡克定律，将变形几何方程改写成补充方程。（4）将补充方程与平衡方程联立求解。例8-2已知：F，EA求：A、B两端的支座反力解：（1）受力分析并列平衡方程（2）变形几何方程lllBCAC只有一个平衡方程，一次超静定0yF0ABFFF（3）物理方程（胡克定律）EAaFlAAC2BBCFalEA（4）建立补充方程，解出约束反力EAaFEAaFBA2BAFF2由(1)和（2）联立可得：2,33ABFFFFABCFaa2CBBFAFAFlC(1)(2)另解：设想将B端的约束解除，代之以反力FB，原结构就变成A端固定、B端自由、受F和FB共同作用的静定结构（原结构的相当结构）。位移条件：0B即：0BBFF2FFaEA3BBFFaEA解得：3AFF23BFFAF带入上式：320BFaFaEAEAABCFaa2ABFaa2BFC如图所示杆系结构中AB杆为刚性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求1、2杆的轴力。例8-3解：（1）静力平衡方程N1N223FFF（2）变形几何方程及物理方程122llFBACDN1FN2FFAxFAyN11FllEAN22FllEAN135FFN265FF（3）补充方程FBAl12CDaaa1l2lCDB0AMN1N2230FaFaFa得（1）N2N12FF（2）（4）联立（1）（2）求解如图所示杆系结构中AC杆为刚性杆，1、2、3杆刚度为EA，载荷为F，求1、2、3杆的轴力。例8-4解：（1）静力平衡方程（2）变形几何方程及物理方程（4）联立求解0yFFBAl12Caaa/23DFBACN1FN2FN3FD0DM1322lllN11FllEAN22FllEAN33FllEAN1N3N22FFF（3）补充方程N2()3FF拉N1()12FF拉N37()12FF拉1l2l3lABCN1N2N30FFFFN1N2N330222aaFaFF另解：FBACN1FN2FN3FN20FN1e20FaMN11()4FF压在力F作用下，结构对称，荷载也对称，其内力和位移都是对称的。N1N2N313FFFF由此可以直接得出三杆轴力在力Me作用下，结构对称，荷载反对称的，即内力和位移都是反对称的。由叠加法得N2103FFN11134FFFN31134FFFFBAl12Caaa/23D把力F移动到B得到一个力和力偶e2FaM1l3lBACN1FN2FN3FFe2FaMBAl12Caaa/23DN31()4FF拉1()12F拉1()3F拉7()12F拉例8-5木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许用载荷F。FF4FN1FN20yF12llN1N21122FFEAEA变形几何方程及物理方程补充方程：解：平衡方程:角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2N1111FllEAN2222FllEA(1)(2)N1N240FFF联立求解得:N1N20.07;F0.72FFFN111705.4kNFFA由得求结构的许用载荷N2221042kNFFA由得705.4kNFFF4FN1FN2FBACD1NF2NFFAxFAyFBAl12CDaaa1l2lCD1DB如图所示杆系结构中AB杆为刚性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求1、2杆的轴力。练习解：（1）静力平衡方程N1N22sin3FFF（2）变形协调方程122DDCCl（3）物理方程N11FllEAN22sinFllEAN13314sinFF2N233sin14sinFF联立上面的方程可以求得2sinlDD212sinll如图所示杆系结构中AB杆为刚性杆，写出结构的变形协调方程。练习FBAl112CDaaal21l2lCD1D分析2DDCC1sinlDD2sinlCC122sinsinll§8-3装配应力和温度应力CAB12装配后仅是几何形状略有变化，两杆内均不会因装配而产生内力和应力。杆的实际长度尺寸和设计尺寸间可能存在误差。如图所示的静定杆系中，AC杆的长度比设计尺寸短了δ。Ale但在超静定杆系中，由于多余约束的存在，长度尺寸上的误差使得装配发生困难，装配后将使杆内产生内力和应力。设压力为FN，则NeeFlEANFlEAeNEAFl则压应力为NeFEAl这种由于装配而引起的应力，称为装配应力。（初应力）*AAFN1FN3FN2解（1）平衡方程0xF0yF（1）（2）例8-6图示杆系中，各杆的材料均为Q235钢，弹性模量E=200GPa，各杆横截面面积均为A，角。若3杆的长度比设计长度l短了，试计算各杆的装配应力。30/1000el123elAN1N2sinsin0FFN3N1N2coscos0FFFA123el3lA1l（2）变形几何方程13cosell（3）物理方程N11cosFllEAN33FllEA（4）补充方程N1N32coseFlFlEAEA（3）（5）联立(1)、(2)、(3)求解2N1N23cos12coseEAFFl(压力)3N332cos12coseEAFl(拉力)N21265.2MPaFA(压应力)N33113.0MPaFA(拉应力)例8-7火车车轮通常由铸铁轮心和套在轮心上的钢制轮箍两部分组成。轮箍：；轮心：，。2,,,bdE112ddd122/dddk装配时将轮箍加热膨胀后套于轮心上，冷却后二者相互紧压。轮心的刚度远大于轮箍，在假设轮心为一刚体的情况下，求装配后轮箍和轮心间的装配压力p和轮箍径截面上的正应力。轮心1d轮箍2d1d热套冷却后2dp1dpp2dNFNFy轮箍2d1d热套冷却后解（1）平衡方程d0yF2N0sin202dpbdFN212Fpbd（2）变形几何方程圆周伸长：12ldd（1）（2）（3）物理方程微段伸长NFdsdsEAN2/2FddEb圆周总伸长2N20/2FdldEbN2FdEb（3）（4）补充方程令（2）=（3）N2EbFd222EpdN2FEAd2dp轮箍受力图在超静定杆系中，由于多余约束的存在，各杆因温度改变而引起的纵向变形要受到相互制约，在杆内就要产生应力，这种应力称为温度应力或热应力。lABtABttl平衡方程：0ABFFABFlBFAF变形几何方程：0tFll物理方程（线膨胀定律和胡克定律）：tlltll（为线膨胀系数）NFFllEA求得：NlFtEA温度应力：NlFtEA（压应力）例8-8图示超静定杆系中，三杆的弹性模量均为E，线膨胀系数均为，横截面面积均为A。试求温度升高度时，三杆的温度应力。ltAFN1FN3FN2A1l2l3l解（1）平衡方程N1N20sinsin0xFFFN3N1N20coscos0yFFFF（1）（2）（2）变形几何方程及物理方程13cosllN11coscoslFllltEA123AlN33lFlltlEA（3）补充方程22N1N3cossinlFFtEA（3）（4）联立求解AFN1FN3FN2A1l2l3l123Al2N1N23sin12cosltEAFF(压力)2N332sincos12cosltEAF(压应力)(拉力)N212FA23sin12cosltEN33FA232sincos12cosltE(拉应力)例8-9如图所示的阶梯形钢圆杆，上段杆的直径d1=50mm，长度l1=700mm；下段杆的直径d2=35mm，长度l2=300mm。杆的上端固定，下端距刚性支座的间隙Δ=0.15mm，材料的线膨胀系数，弹性模量E=210GPa。试求温度升高时，两段杆的温度应力。612.510/lC40tCABC1l2l解：若解除杆下端的刚性支座，则温度上升后杆的伸长变形为Δlt。当ΔltΔ时，下端支座的约束反力FR将使杆产生缩短变形ΔlF。根据变形协调条件得到变形几何方程为tlFlRFtFll其中：t12lltllR1R212FFlFllEAEA2R1212211241FlldEdld12ltll2R1212211241FlldEdld（补充方程）例8-10图示结构中，1、