第八章静电场2007

1第三篇电磁学（从电荷、电流、电场、磁场到电磁场；从库仑、法拉第到麦克斯韦）第八章静电场教学要求：*掌握静电场的电场强度、电势及场的叠加原理。*掌握电势与场强的积分关系，了解微分关系，计算简单场强和电势。*理解静电场的规律——高斯定理和环路定理。*掌握用高斯定理计算场强的条件和方法，并能熟练应用。*理解电场强度通量和电位移通量的物理意义和计算方法。*了解电场力作功和电势能的计算方法。2教学内容（学时：10学时）：§8-1电荷电荷守恒库仑定律§8-2电场电场强度及其计算§8-3电场线电场强度通量高斯定理§8-4静电场的保守性静电场的环流定理§8-5电势能电势§8-6场强与电势梯度的关系教学重点：*掌握电场强度、电势的概念。*掌握电场强度和电势的叠加原理。*掌握静电场电场线有源性和无旋性,静电场的高斯定理和环流定理。*掌握电势与场强的积分关系。教学难点：*场强叠加的矢量性，场强和电势的叠加原理3计算的微积分方法，*使用高斯定理计算场强的条件和方法，*使用场强积分计算电势和电势差。作业(P46)：----------------------------------------------------------§8-1电荷电荷守恒库仑定律一电荷与电荷守恒1．电荷：电荷分类：自然界中的电荷分两种-------正电荷和负电荷。电量：物体带电的多少叫电荷的电荷量单位：库仑(C)1C=1A·1S电量是标量——有大小和符号2．电荷守恒定律：对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则该系统正、负电荷的电量代数和将保持不变。4现代物理学实验证明，在宏观、微观电荷守恒定律都成立。一个高能光子可转化为一个正负电子对，其前后电荷电量代数和为零，而一个正电子和一个负电子相遇会湮灭成光子，电量代数和仍为零。3．电荷的相对论不变性：电荷的电荷量与它的运动状态无关。二电荷的量子性1．电荷是量子化的：电荷的电量总以一个基本单元的整数倍出现，即neq。2．电荷的基本单元：e=1.602×10-19C从微观看：这些基元电荷离散分布在物体内。从宏观看：电荷连续地分布在带电物体上。（忽略电荷量子性引起的微观起伏，连续性处理有利于使用微积分计算电场）三库仑定律51．点电荷如果一个带电体本身的线度比所研究问题中涉及的距离小很多时，它的形状大小对所讨论的问题没影响或影响可以忽略，这个带电体可以看成一个带电的点，即点电荷。注意：对点电荷这一概念的理解，应该有一个相对性的观念，不能单纯由带电体的几何线度来判定是否点电荷。2.真空中的库仑定律q2q1r在真空中,两静止点电荷之间有相互作用力，其大小与电荷电量乘积成正比,与距离平方成反比;方向沿着两电荷连线,且同号6电荷相排斥,异号电荷相吸引。rrqqkeF221（8-1）其中：229C/mN109k——静电力常数（8-2）定义：22120/1085.841mNCk——真空介电常数则有：rrqqeF221041（8-3）-------库仑定律注意：71.库仑定律适用条件：1)真空(空气中近似可用)，2)两个点电荷之间。2.静电力满足力的叠加原理21FFF---------------------------------------------------------------§8-2电场电场强度一电场1．静电场---静止电荷在其周围空间所激发的一种特殊物质。8所谓特殊物质：与实物一样它具有能量、质量，但它没有静止质量。场具有空间兼容性，而实物物质具有空间排斥性。(不同实物物质不能同时占据同一空间区域)2．电荷之间的相互作用过程电荷1电荷2电场1电场2产生产生作用于作用于（法拉第最早提出了场和力线的概念）*场的重要概念:现代物理学:自然界万事万物都由各种各样的场组成，粒子和场等价。二电场强度91．试验电荷满足的条件：体积足够小且电量足够小(常用0q表示)。2．电场强度（简称为场强）：0qFE(8-4)电场中某点的场强等于单位正电荷所受到的电场力。单位（国际单位制）：V/M(伏特每米)或N/C(牛顿每库仑)10三电场力及其计算方法1．点电荷受到的电场力若一点电荷q处于某电场中，所在点处的场强为E，电场力为：EFq(8-5)2．点电荷系受到的电场力有一个点电荷系处于电场中（在电场不同地方的点电荷所在位置处的场强不同）设1q、2q、3q、4q……所在位置处场强为111E、2E、3E、4E……，有：iiqqqqqEEEEEF44332211(8-6)（注意：这里没考虑点电荷系内部电荷之间的电场力）*电偶极子:两个等量异号的点电荷所组成——电偶极子电矩(电偶极矩)：P=ql（矢量)（8-7）大小：等于电偶极子的电量乘以它们的距离，方向：由负电荷指向正电荷。例8.1求电偶极子在均匀电场E中所受电场力合力和力矩12FA-qlEFB+q解：在均匀外电场中电偶极子的正、负电荷所受的电场力分别为：BBAAq,qEFEF　　为一对力偶，故合力为：0BAFFF力偶矩大小为：sinpEsinqlEsinlMAF矢量形式为：EpM3．连续带电体受到的电场力（使用微积分方法）13取微元电荷dq，其静电力为：EFdqd积分,即：QdqdEFF(8-8)（计算连续带电体所受静电力，必须考虑积分变量的选取和积分）典型情况下积分的处理方法#呈体分布带电体所受静电力:14电荷体密度用ρ表示。元电荷dq为：dVdq则：VdVEF(8-9)（体积分）#呈面分布带电体所受静电力:电荷面密度用符号σ表示。元电荷dq为：15dSdq则：SdSEF(8-10)(面积分)#呈线分布带电体所受静电力：电荷线密度用符号λ表示。元电荷dq为：dldq则：LdlEF(8-11)16（线积分）四点电荷产生的电场与场强叠加原理1．点电荷电场根据场强的定义得到：rrqqeFE2004(8-12)--------点电荷的场强公式17上式很重要，它是计算任意带电体系、任意形状带电体所产生的场的基础。2．电场强度的叠加原理nnqqEEEFFFFE210210iiEE(8-13)场强叠加原理：点电荷系电场中某一点的场强，等于各个点电荷单18独存在时在该点产生场强的矢量和。五.计算场强的一般方法点电荷的场强公式+场强叠加原理1．点电荷系产生的电场第i个点电荷qi的场强为：riiiirqeE204按场强叠加原理，总场强为：niriirnnrrinrqrqrqrq1202022022101444421eeeeE19(8-14)2．连续带电体产生的电场dq微分点电荷dq产生的场强为：rrdqdeE204根据场强的叠加原理，矢量积分：QrrdqdeEE204(8-15)考虑电荷不同分布的带电体产生的场强*体分布电荷：20VrrdVdeEE204(8-16a)*面分布电荷：SrrdSdeEE204(8-16b)*线分布电荷：LrrdldeEE204(8-16c)六用叠加原理计算电场强度例8.2求电偶极子中垂线上任意一点的电场强度。21解解:设电偶极子的电量分别为+q和-q，用l表示从负电荷指向正电荷的矢量。设中垂线上任意一点P相对于+q和-q的位置矢量分别为r+和r-，而r+=r-。由(8-14)式，+q和-q在P点处产生的场强分别为：304rqrE22304rqrE以r表示电偶极子中心到P点距离，则：)81(414222222rlrrlrlrrr在rl时，取一级近似，有rrr。P点的总场强为：303044)(rqrqlrrEEE（式中：p=ql是电偶极子的电矩）可写成：23304rpE（8-17）表明：电偶极子在其中垂线上距电偶极子中心较远处各点电场强度与电偶极子电矩成正比，与距离的三次方成反比，方向相反。-------------------------------------------------------------例8.3试求一均匀带电直线外任意一点处的场强。设直线长L，电荷线密度(0)。直线外场点P到直线垂直距离为x，P点与带电直线的上下端点的连线与垂线的夹角分别为1和2。24解解：仅限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得多的地方的电，则该带电直棒就可看作一条带电直线，P点处场强可通过微积分求解。在带电直线上任取一长为dy的元电荷，其电量dydq。以P点到带电直线垂足O为原点，取坐标轴Ox，Oy。25元电荷dq在P点场强dE沿两个轴方向分量为xdE和ydE。因而：304cosrxdydEdEx304sinrydydEdEy由于tanxy，从而：dcosxdy2(表示：当dy很小时，dy对P点张开的角度d与dy的关系)由图知cosxr，所以：26dxrxdydEx0304cos4对整个带电直线，的变化范围是从2到1，所以：)sin(sin44cos210012xdxdEExx同理可得：)cos(cos44sin210012xdxdEEyyP点总场强的大小为：22yxEEE讨论几种特殊情况：（1）中垂线上的点的场强27在中垂线上21，则有：0yE10sin2xEEx将221)2/(2/sinxLL代入，可得：2122044/)/Lx(xLE方向：垂直于带电直线而指向远离直线的一方。(2)无限长直线外任意一点处的场强无限长的准确描述是9021，故有：xE02（8-18）在远离带电直线的区域，即Lx，中垂线上电场强度为：28202044xqxLE（其中Lq为带电直线所带的总电量）显示：离带电直线很远处该带电直线电场相当于一点电荷q的电场。例8.4求均匀带电圆环轴线上的场强。一均匀带电细圆环，半径为R，所带总电量为q(设q0)，圆环轴线上场点P到圆心的距离为x。解：把圆环微分，任一小段dl上的为元电荷dq。设dq在P点场强dE沿平行和垂直于轴线两方向分量为xdE和Ed。29由于圆环电荷分布轴线对称，圆环上全部电荷的Ed分量的矢量和为零，因而P点的场强沿轴线方向，且为：qxdEE（式中积分为对环上全部电荷q积分）设P点与dq的距离为r，由于：cos4cos20rdqddxEE（其中为Ed与x轴的夹角）所以：qqqxdqrrdqd20204coscos4EE（此式中的积分值即为整个环上的电荷q）所以：30204cosrqE考虑到r/xcos，而22xRr，可将上式改写为：2/3220)(4xRqxE（8-19）（E的方向为沿着轴线指向远方）当Rx时：32/322)(xRx则E的大小为：204xqE（说明：远离环心处的电场也相当于一个点电荷q所产生的31电场）当Rx时，32/322)(RRx，则E的大小为：304RqxE例8.5试求均匀带圆盘轴线上的场强。设带电圆盘半径为R，电荷面密度为(设0)，求圆面轴线上距离圆心x处场点P的场强。解解：带电圆盘可看成由许多同心的带电细圆环组成。取一个半径为r，宽度为dr的细圆环，由于此环32的面积为drr2，带有电荷rdr2，由上一例题可知此圆环电荷在P点的场强大小为：2/3220)(42xrxrdrdE（方向沿着轴线指向远方）由于各圆环电场dE方向相同，P点总场强为各圆环在P点场强大小的积分，即：RxRxxrrdrxdEE02/12202/3220])(1[2)(2（8-20）（其方向也垂直于圆面指向远方）当Rx时：