第六七节曲面与曲线二次曲面(xrc).

第六节曲面一、曲面方程的概念二、柱面和旋转曲面三、空间曲线及其方程四、空间曲线在坐标面上的投影五、空间区域在坐标面上的投影水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念如果曲面与三元方程0),,(zyxF有下述关系：(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；那么，方程0),,(zyxF就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形.(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程；由几何特征确定曲面方程例1建立球心在点),,(0000zyxM、半径为R的球面方程.2202020Rzzyyxx特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx例2求与原点O及)4,3,2(0M的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程..911634132222zyx例3已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程..07262zyx研究空间曲面有两个基本问题：(1)已知曲面作为满足某些条件的点集，求曲面方程；(2)已知曲面方程，研究曲面形状.二、柱面与旋转曲面1、柱面（cylinder）播放观察柱面的形成过程:定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.例如：222)1(Ryx圆柱面)0(2)2(2ppyx抛物柱面1)3(2222byax椭圆柱面(4)平面xy柱面举例xozyxozyxy22抛物柱面xy平面从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例12222czby椭圆柱面x12222byax双曲柱面zpzx22抛物柱面y只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线00),(:zyxFC.母线//轴母线//轴母线//轴例指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？;2)1(x;4)2(22yx.1)3(xy解平面解析几何中空间解析几何中2x422yx1xy平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于z轴的平面方程2、旋转曲面（surfaceofrevolution）定义平面上的曲线C绕该平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴,曲线C称为母线.播放例如：球面1222zyxxozy0),(zyf),,0(11zyM),,(zyxM,),,(zyxM在曲面上任取点22yxd,0),(1221zyfyxy代入将,0),(11zyfM满足点d点M到z轴的距离||1yC,0),(,zyfyozC方程为面上的一条曲线为设.的旋转曲面的方程轴旋转一周而得绕求zC,0),(22zyxf得方程yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.yoz坐标面上的已知曲线绕z轴旋转一周的旋转曲面方程为00),(xzyf.0),(22zyxfyoz坐标面上的已知曲线绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为00),(xzyf.0),(22zxyf.0),(22yzxfxoy坐标面上的已知曲线0,0),(zyxf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程:.0),(22zyxfxoy坐标面上的已知曲线0,0),(zyxf绕x轴旋转一周的旋转曲面方程:0),(22zyxfzox坐标面上的已知曲线0,0),(yzxf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程:.0),(22zyxfzox坐标面上的已知曲线0,0),(yzxf绕x轴旋转一周的旋转曲面方程:例1将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx双叶旋转双曲面单叶旋转双曲面双叶双曲面zyxO单叶双曲面xyoz122222czyax122222czayx（2）椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面ozyx（3）抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面zxyoxyzo0p0p例5下列方程所表示的曲面是否是旋转曲面，若是，指明其是如何形成的.1)1(22zyx1)2(2zyx给出一个方程也要会判断它是否表示旋转面,及旋转曲面是如何形成的.例6直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．xozy),,0(111zyM),,(zyxMoxzy试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．xozy解yoz面上直线方程为(0),tan())=cot2zkykk其中),,0(111zyM),,(zyxM绕z轴旋转，故圆锥面方程为oxzy)(2222yxkzcotk圆锥面222zyx0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上（不在曲线上的点不能同时满足两个方程）.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：三、空间曲线及其方程1、空间曲线的一般方程空间曲线例1方程组表示怎样的曲线？6332122zyxyx解122yx表示圆柱面，6332zyx表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆.例2方程组表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax圆柱面,交线如图.)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程动点从A点出发，经过t时间，运动到M点例4如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．AMMM在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtzt螺旋线的参数方程取时间t为参数，解xyzo螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt螺旋线的重要性质：,:00,:00bbbz上升的高度与转过的角度成正比．即上升的高度bh2螺距,20),,(0),,(zyxGzyxF如何将曲线的一般方程：(*)化为参数方程？(1)先从一般方程(*)中消去某个变量，比如z，得方程H(x,y)=0，写出该方程在xOy面的参数方程x=x(t)，y=y(t).再把x=x(t)，y=y(t)代入(*)中的某个方程解出z=z(t)，最后在确定t的变化区间，就得到了曲线的参数方程.01222zyxzyx例5、把曲线用参数方程表示.(2)在一些特殊情形，(*)中的某个方程是不完全三元方程(即方程中缺了一个未知量)，则可先将这个方程化为参数方程，再将所得结果代入(*)中的另一个方程，即可求得曲线的参数方程.1122zyxyx例6、将曲线化为参数方程.0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线对xOy面的投影柱面设空间曲线的一般方程为：投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.四、空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线为准线，母线垂直于xOy面的柱面叫做曲线对xOy面的投影柱面00),(zyxH空间曲线在xOy面上的投影曲线投影曲线的研究过程的例子.空间曲线投影曲线投影柱面0),(zyR0),(zxT曲线在yoz面上的投影柱面和投影曲线：曲线在zox面上的投影柱面和投影曲线：00),(xzyR00),(yzxT类似地：可定义空间曲线：在其他坐标面上的投影柱面和投影曲线.0),,(0),,(zyxGzyxFxzyxz22:22例1求曲线在xoy面的投影柱面及投影曲线方程.1)1()1(1:222222zyxzyx例2求曲线在xoy面及yoz面的投影曲线方程.0162222222zyxzyx例3以曲线为准线,母线平行于z轴的柱面方程.例4求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy,04322zyx所以在面上的投影为线段.xoz;23||,021xyz（3）同理在面上的投影也为线段.yoz.23||,021yxz（2）因为曲线在平面上，21z例5求抛物面xzy22与平面02zyx的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为0222zyxxzy解如图,（2）消去y得投影,0042522yxxzzx（3）消去x得投影.00222xzyzy（1）消去z得投影,004522zxxyyx空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面五、空间区域在坐标面上的投影例1.,)(34,2222面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体xoyyxzyxz解半球面和锥面的交线为,)(3,4:2222yxzyxzC,122yxz得投影柱面消去面上的投影曲线为在则交线xoyC.0,122zyx一个圆,面上的投影为所求立体在xoy.0,122zyx求两曲面所围立体(即空间区域)在坐标面的投影区域的一般方法：(1)求两曲面的交线方程在坐标面的投影柱面方程，(2)将(1)中所得方程与坐标面方程联立，得两曲面的交线方程在坐标面的投影曲线方程，(3)投影曲线在坐标面所围成的闭区域.022xzyz2z8zxoyD例2求由曲线绕轴旋转一周而成的曲面夹在平面与平面之间的部分在面的投影区域.例3求上半球2220yxaz与圆柱体)0(22aaxyx的公共部分在XOY面和XOZ面上的投影。解：曲面axyxyxaz22222,的交线在XOY面上的投影为022zaxyx所围立体在XOY面上的投影为axyx22由222222xaxyzxay消去y，可得交线在XOZ面上的投影为：022yaxaz因此，所围立体在XOZ面上的投影为：0,02xaxaza2222azyx22axyx.xyozz=0axyzo。22raz。cosar。。维望尼曲线。。D1.六、小结1、曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法.柱面的概念(母线、准线)..0),,(zyxF2、空间曲线的一般方程、参数方程．0),,(0),,(zyxGzyxF)()()(tzztyytxx3、空间曲线在三个坐标面上的投影柱面和投影直线．00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT思考题1方程3254222xzyx表示怎样的曲线？思考题2求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.思考题1解答3254222xzyx.316422