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1第六章广义逆广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广,广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分,其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念,重点介绍矩阵1-逆及矩阵Moore-Penrose逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用,最后给出方阵的群逆与Drazin逆的基本性质。§6.1广义逆矩阵的概述广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设nC为复n维向量空间,mnC为复mn矩阵全体。设矩阵mnAC,考虑线性方程组Axb(6-1)其中,mbC为给定的m维向量,nxC为待定的n维向量。定义1若存在向量nxC满足线性方程组(6-1),则称线性方程组(6-1)是相容的;否则称线性方程组(6-1)是不相容的。众所周知,当A为可逆矩阵时,线性方程组(6-1)有唯一解1xAb,其中1A是A的逆矩阵。当A为不可逆矩阵或长方矩阵时,相容线性方程组(6-1)有无数解;不相容线性方程组(6-1)无解,但它有最小二乘解,即求nxC,使得()minyRAAxbyb(6-2)成立,其中代表任意一种向量范数,(),mnRAyCyAxxC。上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式xGb,其中,G是某个nm矩阵?这个矩阵G是通常逆矩阵的推广。1920年,E.H.Moore首先提出广义逆矩阵的概念,由于Moore的方程过于抽象,并未引起人们的重视。1955年,R.Penrose给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。定义2设矩阵mnAC,若存在矩阵nmXC满足下列Penrose方程(1)AXAA;(2)XAXX;(3)()HAXAX;2(4)()HXAXA则称X为A的Moore-Penrose逆,记为A。例1由Moore-Penrose逆的定义不难验证(1)若1100A,则102102A;(2)若naC,则2Haaa,其中2Haaa;(3)若nmCOOOBA,其中rrCB是可逆矩阵,则1BOAOOmnC;(4)若A是可逆矩阵,则1AA。定理1对于任意矩阵mnAC,其Moore-Penrose逆存在并且唯一。证明存在性。设矩阵mnAC有奇异值分解HOAPQOO,其中mmPC,nnQC为酉矩阵,1diag(,,)r,A的正奇异值为1,,r,rank()Ar。容易验证1HOXQPOO满足定义2中的四个Penrose方程,所以,A总是存在的。唯一性。设,XY均满足定义2中的四个Penrose方程,则()()()HHHHHHHHHXXAXXXAXXAYAXAXAY()()=()HHHHHHHHHXAXAYXAYXAYAYXAYAYAXAYYAYYYAYYAYY所以A是唯一的。更一般的,为了不同的目的,人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方程的广义逆。3定义3设矩阵mnAC,若矩阵nmXC满足Penrose方程中的(i),(j),,(l)等方程,则称X为A的,,,ijl-逆,记为(,,,)ijlA。由定义3与定义1可知,(1,2,3,4)AA。因为对于任意,,,1,2,3,4ijl都有A为A的,,,ijl-逆,所以利用定理1可知(,,,)ijlA总是存在的。但是除了A是唯一确定的之外,其余各种,,,ijl-逆矩阵都不是唯一确定的,因此将A的,,,ijl-逆全体记为,,,Aijl。如果按照满足Penrose方程个数进行分类,,,,ijl-逆矩阵共有1234444415CCCC种。但应用较多的是以下5种:{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3,4}AAAAA,其中,(1){1}AAA最为基本,{1,2,3,4}AA最为重要。(1,2){1,2}rAAA称为自反广义逆,(1,3){1,3}lAAA称为最小二乘广义逆,(1,4){1,4}mAAA为极小范数广义逆。例2设矩阵11122122AAAAA,其中11A为可逆矩阵,且122211112AAAA,则容易验证1111AOAOO。例3设矩阵mnAC。(1)若rank()Am,此时HmmAAC为可逆矩阵,容易验证1(){1,2,3}HHXAAAA;(2)若rank()An,此时HnnAAC为可逆矩阵,容易验证1(){1,2,4}HHXAAAA。除了以上,,,ijl广义逆矩阵之外,还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵。1967年,Erdelyi给出如下群逆的概念。定义4设矩阵nnAC,若矩阵nnXC满足(1)AXAA;(2)XAXX;(3)AXXA;则称X为A的群逆,记为#A。4从定义4可以看出,群逆#A是一个特殊的(1,2)A,虽然(1,2)A总是存在的,但是这种群逆未必存在。为了介绍Drazin逆的定义,下面先给出方阵指标的概念。定义5设矩阵nnAC,称满足1rank()rank()kkAA的最小非负整数k为A的指标,记作Ind()Ak。若矩阵A是非奇异的,则Ind()0A,若矩阵A是奇异的,则Ind()1A。1958年,Drazin给出如下Drazin逆的概念。定义6设矩阵nnAC,其指标为k,若存在矩阵nnXC满足(1)kkAXAA;(2)XAXX;(3)AXXA;则称X为A的Drazin逆,记作DA。易见,若矩阵A的指标为1,则A的Drazin逆就是群逆。§6.21-逆的性质与计算由于1-逆是最基本、最重要的一种广义逆,本节将给出1-逆的基本性质与计算方法。6.2.11-逆的存在性定理1设矩阵mnAC,其秩为r。若矩阵A的等价标准形为rEOPAQOO,其中,PQ分别为m阶和n阶可逆矩阵,则矩阵A的所有1-逆的集合为12(1)()()()()1221222122{1},,rrmrnrrnrmrEBAAQPBCBCBCBB。证明设矩阵X为A的任意一个1-逆,则其满足AXAA。于是,5111111rrrEOEOEOPQXPQPQOOOOOO。因为,PQ分别为m阶和n阶可逆矩阵,上式等价于11rrrEOEOEOQXPOOOOOO。令1112112122BBQXPBB,则由上式可以推出11rBE,而122122,,BBB是任意的,故12112122rEBQXPBB,即122122rEBXQPBB。因此,此定理结论成立。由此定理的证明过程可知矩阵A的1-逆一定存在,但由于122122,,BBB的任意性得矩阵A的1-逆不唯一。6.2.21-逆的基本性质关于1-逆的基本性质,有如下定理。定理2设矩阵mnAC,R,则(1)(1)(1)(1)(1)()(),()()TTHHAAAA;(2)若矩阵nnnAC,则(1)1AA,并且A的1-逆是唯一的;(3)(1)(1)()AA,其中1000;(4)设,PQ分别为m阶和n阶可逆矩阵,则(1)1(1)1()PAQQAP;(5)(1)rank()rank()AA;(6)(1)AA与(1)AA都是幂等矩阵,且(1)(1)rank()rank()rank()AAAAA。6证明利用6.1节定义3,可以直接验证此定理的(1)-(4)成立。(5)由于(1)(1)(1)rank()rank()rank()rank()AAAAAAA,所以结论成立。(6)由于(1)2(1)(1)(1)()AAAAAAAA,(1)2(1)(1)(1)()AAAAAAAA,所以,(1)AA与(1)AA都是幂等矩阵。又由于(1)(1)rank()rank()rank()rank()AAAAAAA,所以(1)rank()rank()AAA,同理(1)rank()rank()AAA,因此,结论成立。6.2.31-逆的计算定理1给出利用等价标准形求1-逆的方法。例1已知矩阵0130241545710A,求{1}A,并具体给出一个(1)A。解答由于3401301002415010457100011000000010000000100000001000AEEO711000202010010000003211151000022013000000100000001000,现令1202100321P,1151022013000100001Q,所以矩阵A的等价标准形为100001000000PAQ,利用定理1可得2122122211221222122{1},,EBAQPBCBCBCBB;令122122,,BBB均为零矩阵时,得到一个最简单的{1}-逆如下:(1)115111001020202222010013010010000000100003210000001000A。§6.3Moore-Penrose广义逆的性质与计算由于Moore-Penrose广义逆在研究线性方程组解的表达式问题中起着重要作用,因此本节将介绍Moore-Penrose广义逆的基本性质与计算方法。6.3.1Moore-Penrose广义逆的计算利用6.1节定理1可知,Moore-Penrose广义逆总是存在的,并且给出了利用奇异值分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。下面给出利用满秩分解计算Moore-Penrose广义逆的方法。定理1设矩阵mnrAC,其满秩分解为8AFG,其中mrrFC为列满秩矩阵,rnrGC为行满秩矩阵,则11()()HHHHAGGGFFF。证明因为rank()rank()HFFFr,rank()rank()HGGGr,所以HrrFFC与HrrGGC皆为可逆矩阵。令11()()HHHHXGGGFFF,不难验证X满足Penrose的四个方程,所以11()()HHHHAGGGFFF。推论1设矩阵mnAC,则(1)若rank()Am,则1()HHAAAA;(2)若rank()An,则1()HHAAAA;(3)若A有满秩分解AFG,其中mrrFC为列满秩矩阵,rnrGC为行满秩矩阵,则AGF。例1已知矩阵100200A,利用矩阵奇异值分解求矩阵A的Moore-Penrose逆A。解答由于100040000HAA,所以HAA的特征值为11,24,30,因此,A的正奇异值为11,22。特征值11、24、30对应的单位特征向量分别为1100,2010,3001所以123100010001U。9令1100100U,则11110100101001020020100HHVAU
本文标题:第六章广义逆矩阵
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