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1第六章拉压杆件的应力变形分析与强度设计§6-1轴向拉压概念与实例§6-2轴向拉压杆的内力、应力及变形分析§6-5轴向拉压杆系的超静定问题§6-3材料在拉压时的力学性能§6-4轴向拉压杆的强度计算2活塞杆FFF厂房的立柱工程桁架一、轴向拉压的工程实例§6-1轴向拉压概念与实例3二、轴向拉压的概念(2)变形特点:杆沿轴线方向伸长或缩短。(1)受力特点:FN1FN1FN2FN2外力合力作用线与杆轴线重合。以轴向拉压为主要变形的杆件,称为拉压杆或轴向承载杆。ABCF4§6-2轴向拉压杆的内力、应力及变形分析,0X0PFNPFN一、轴向拉压杆横截面的内力——轴力(用FN表示)6-2-1轴向拉压杆的内力与应力5推导思路:实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式二、轴向拉压杆横截面的应力1、实验:变形前受力后FF2、变形规律:横向线——仍为平行的直线,且间距增大。纵向线——仍为平行的直线,且间距减小。3、平面假设:(1)变形前的横截面,变形后仍为平面且各横截面沿杆轴线作相对平移,即仍垂直于杆的轴线。(2)纵向线互不挤压,即单向受力。6横向线——仍为平行的直线,且间距增大。纵向线——仍为平行的直线,且间距减小。拉伸7横向线——仍为平行的直线,且间距减小。纵向线——仍为平行的直线,且间距增大。压缩85、应力的计算公式:——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式4、应力的分布规律——应力沿横截面均匀分布NFAFNFaPmN2aMPmmN2AFN单位,6、拉压杆内最大的正应力:等直杆:maxmaxNFA变直杆:maxmaxAFN97、正应力的符号规定——同内力拉应力为正值,方向背离所在截面。压应力为负值,方向指向所在截面。8、公式的使用条件(1)轴向拉压杆,即外力的合力作用线与杆件的轴线重合。(2)只适用于离杆件受力区域稍远处的横截面。关于加力点附近区域的应力分布和应力集中的概念详见教材P118。(3)横截面沿轴线变化,但变化缓慢,外力作用线与轴线重合,如图所示。P/2O20(4)也适用于阶梯杆,但要分段求。10三、轴向拉压杆任意斜截面上应力1、斜截面上应力确定(1)内力确定:(2)应力确定:①应力分布——均布②应力公式——coscoscosFFFpAAAFN-F=0FpFFFFNxFN根据变形规律,杆内各纵向线变形相同,因此,斜截面上各点受力也相同。截面法设杆的横截面面积为A,则斜截面面积为:cosAA0X0NaFFpAF这是斜截面上的全(总)应力112、符号规定⑴:斜截面外法线与x轴的夹角。由x轴逆时针转到斜截面外法线——“”为正值;由x轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值。⑵σ:同“σ”的符号规定⑶τ:在保留段内任取一点,如果“τ”对该点之矩为顺时针方向,则规定为正值,反之为负值。2coscospsinsin22ppcoscosFpAF正应力剪应力为横截面正应力斜截面上的总应力123、斜截面上最大应力值的确定:)1(max:)2(max,横截面上。,450斜截面上。2cos,sin22,0max)0(0452max)2(FFNx由上述分析可知,杆件受拉或压时,横截面上只有正应力;斜截面上既有正应力又有剪应力。而且,对于不同倾角的斜截面,其上正应力和剪应力各不相同。13讨论:1、,0当2、,45当,max0即横截面上的正应力为杆内正应力的最大值,,22max即与轴线成45°的斜截面上切应力达到最大值,3、,90当,00即纵截面上的应力为零,且与正应力相等。而切应力为零。因此在纵截面不会破坏。14例题1杆OD左端固定,受力如图,OC段的横截面面积是CD段横截面面积A的2倍。求杆内最大轴力,最大正应力,最大切应力及其所在位置。O3F4F2FBCD15解:1、作轴力图3F2FFmax3NFF(在OB段)O3F4F2FBCDFN可见:162、分段求max,A2F3A2FOBNOBAF2AFCDNCDAF2CDmax(在CD段)3、求maxAFmaxmax21CD段与杆轴成45°的斜面上。3F2FFFNOBCD17例2图示矩形截面(bh)杆,已知b=2cm,h=4cm,P1=20KN,P2=40KN,P3=60KN,求AB段和BC段的应力。ABCP1P2P3P1N1x0PN11KN20PN11MPa25mm/N25mm4020N100020AN22111压应力P3N20PN32KN60PN32压应力MPaAN7522218例3图示为一悬臂吊车,BC为实心圆管,横截面积A1=100mm2,AB为矩形截面,横截面积A2=200mm2,假设起吊物重为Q=10KN,求各杆的应力。30ABC解:首先计算各杆的内力:需要分析B点的受力0XF0F30cosF210YF0Q60cosF1KN20Q2F1KN32.17F321F12QF1F2xyB1930ABCKN20Q2F1KNFF32.1732112BC杆的受力为拉力,大小等于F1AB杆的受力为压力,大小等于F2由作用力和反作用力可知:最后可以计算的应力:BC杆:AB杆:MPa6.86mm200KN32.17AFAN222222QF1F2xyBF’1F’1F’2F’21111120200100NFMPaAA20364P1410102.19MPaA6410030sin(230)-0.95MPa2例4木立柱承受压力P=14KN,木柱截面积2A88cm(2)计算木柱的正应力求木柱顺纹方向切应力大小及指向。(1)计算木柱的内力:FN=-P(3)计算顺纹方向的切应力Pστ30oC压应力21例5图所示吊环由斜杆AB、AC与横梁BC组成,α=20°,斜杆的直径d=55mm,材料为锻钢,已知吊环的最大吊重P=500KN,求斜杆内的应力。解:1.内力分析设斜杆A处受力为FN。节点A的受力如右图所示。02cos02662cosYNNFPFPFKN2.确定斜杆的应力(轴力为-FN):3632266101121055(10)2NFPaAPFNFNααA226-2-2轴向拉压杆的变形计算一、轴向拉压杆的变形分析1、轴向变形:轴向尺寸的伸长或缩短。2、横向变形:横向尺寸的缩小或扩大。23LL1、轴向变形:(1)轴向线应变:(2)虎克定律:NFLLEA(虎克定律的另一种表达方式)L1LEEA——抗拉(压)刚度L——伸长为正,缩短为负ΔL=L1-L,在弹性范围内,)(p时当NFALL又因为:所以:242、横向变形:bbb1横向线应变:aaμ为横向变形系数(泊松比),1aaabb在弹性范围内:L1L1aa1bb25111 nnNiiNiiiiFllFlEAEA(1)等直杆受图示载荷作用,计算总变形(各段EA均相同)二、轴向拉压杆的轴向变形计算26(2)阶梯杆,各段E、A不同,计算总变形。11nnNiiiiiiiFLLLEA27以上两种情况下轴向变形公式的适用条件①线弹性②L长度内,FN、E、A为常数(均匀变形)(3)轴向变形的一般公式)(d)()d(NxEAxxFllxxEAxFld)()(N28拉压杆轴向变形计算公式:l1nNiiiiiFlEA()()NlFxdxEAx均匀变形分段均匀变形非均匀变形拉压杆横向变形计算公式:aabbll111 nnNiiNiiiiFllFlEAEA29例1解:分段求解12N1FFF2N2FFEAlFEAlFl2N21N1EAlFEAllFl11212)(试分析杆AC的轴向变形l,各段EA相同。EAlFEAlFF22112)(30F2FaaABCFNxF3F例2:已知杆件的E、A、F、a。求:△LAC;εAB(AB段的线应变)。解:1)画FN图:2)计算:NFLLEA(1)(3)ABABABFaLFEALaEABCABACLLLEAFaEAFaEAFa43负值表示位移向下31例3已知:l=54mm,di=15.3mm,E=200GPa,0.3,拧紧后,l=0.04mm。试求:(a)螺栓横截面上的正应力(b)螺栓的横向变形d32解:1)求横截面正应力4-10.417llMPa2.148E2)螺栓横向变形410222.'mm00340i.d'd螺栓直径缩小0.0034mm33三、计算桁架节点的位移桁架——一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构。一般具有三角形单元的平面或空间结构,桁架的优点是杆件主要承受轴向拉力或压力,从而能充分利用材料的强度,在跨度较大时可比实腹梁节省材料,减轻自重和增大刚度,故适用于较大跨度的承重结构和高耸结构,如屋架、桥梁、输电线路塔、卫星发射塔、水工闸门、起重机架等。由于桁架中的杆件变形,造成杆件的铰接点位移。求解时注意利用小变形条件,“以切代弧”。PABC三角支架节点A的位移为A=AA’cosABAlAAlBCAA’lABKH由三角形AKA’:例如:注意:节点位移与杆伸长是两个不同的概念。BCPA’KHA解:1.求各杆内力:)(21拉PFN)(2压PFNAP12BC45例题4ml1121100mmA224000mmAGPaE2001GPaE102KNP10求:B点的位移B如图三角架ABC,若已知,,2.各杆变形:)(707.011111伸长mmAElFlN212ll)(177.022222缩短mmAElFlNP1NF2NF3.求B点位移:作位移图:以切线代圆弧例题4B点铅垂位移:3443BBBBBBfB212llmm18.1B点水平位移:mmlBBB177.023mmfBBB2.12215.02.1177.0tanBBf4.837力学性能:材料在受力后表现出的变形和破坏特性§6-3材料在拉压时的力学性能材料通常可分为塑性(韧性、延性)材料和脆性材料两大类。塑性材料是指断裂前要产生较大塑性变形的材料,如低碳钢、铜和铝等;脆性材料是指断裂前产生的塑性变形很小的材料,如铸铁、石料和玻璃等。不同的材料具有不同的力学性能38拉伸标准试样dldl510或压缩试件——很短的圆柱型:h=(1.5~3.0)dhd材料的力学性能可通过实验得到——常温静载下的拉伸压缩试验39万能试验机40拉伸试验与拉伸图(F-l曲线)41σOεaebdc低碳钢轴向拉伸时的力学性能(四个阶段)一、塑性(韧性)材料在拉伸时的力学性能421、弹性阶段e该段内变形在外力撤销后会完全消失;发生的变形均为弹性变形。b点所对应的应力是弹性阶段的最高值,弹性极限是材料只出现弹性变形的极限值;σOεaebdcσe(oab段)43p比例极限σOεaebdc比例极限是应力-应变之间服从胡克定律的应力的最大值。在弹性阶段内有一段特殊的直线段在该段内σ、ε之间呈线性关系,称为比例阶段,也称为线弹性阶段;在线弹性阶段内应力-应变之间满足(虎克定律)EE称为材料的弹性模量;E=线弹性阶段a点对应比例阶段的最高应力;Oa段,tgσP一般钢材:E=200GPa。44注意PAF(1)只有工作应力时
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