第六章能量泛函的转换形式及其应用(16K)

112第六章能量泛函的转换形式及其应用§6.1总位能泛函转换形式及其应用由§4.1节中的（4-16）式，定义了总位能泛函，即SiiViiijSuTVuFAdd])([P（4-16）该泛函为单变量变分原理，其自变量要求满足位移应变关系及位移边界条件，即)(21,,ijjiijuu0iiuu所以，这种变分原理是有条件的，并可以进一步证明总位能原理是极小值原理，解的收敛性得到保证。这种原理是目前广为流行的绝大部分有限元素模型的基础，比较理想的情形是“保续元”的建立，而放松某些边界协调条件则构成了有限元素法中的“非保续元”。【例1】梁元素的总位能泛函及其变换。图6-1所示的一维梁，承受横向分布载荷)(xp，简支端（Lx）作用一集中力矩M，梁的另一端为固持。显然，其边界条件为0x：0)0()0(wwLx：0)(Lw，及MLM)(6-1）总位能泛函根据定义可写为VUp（6-2）其中LxwEJU02d)(21（应变能）（6-3）)(d0LwMxwpVL（外力位能）（6-4）上面各式中，w表示挠度，它是坐标x的函数，而w与w分别代表xwdd及22ddxw。现在对总位能取一阶变分，)(δdδdδδδδ00pLwMxwpxwwEJVULL（6-5）当弯曲刚度EJ沿长度不变时，可将它放在积分号之前，再利用Green公式，可得LLLLxwEJ)4(000dδδδdδ（6-6）将（6-6）式代入（6-5）式中，利用条件（6-1）式，整理后可得图6-1一维弯曲梁113wMwEJxwpEJwLxLδ][dδ][δ0)4(p（6-7）现令（6-7）的0δp，利用变分法中的预备定理，可得到0)4(pEJw（6-8）0MwEJLx（6-9）（6-8）式即为平衡方程，与材料力学所导出的公式完全一致，（6-9）式为力的边界条件，即相当于（6-1）式中的最后一个公式。以上的分析再次验证了总位能泛函的驻值条件是等价于平衡方程的。应当指出，方程（6-8）对自变量即挠度w要求它具有四阶可微，而泛函（6-2）中最高可微阶次为两次。显然，定义泛函p的自变量的因次可能满足不了平衡方程（6-8）的要求，从这一点来说，直接利用泛函（6-2）来导出的离散型式有限元素法模型，对自变量阶次的要求可能要低得多，这对选择自变量的函数形式带来方便。在连续体力学中所求寻的解一般都具有高阶可微性，且满足微分方程及所有的边界条件。有限元素法情形却不一样，它的解是用有限个自由度来表示的，且是分片光滑函数，这些函数的可微性一般均低于微分方程式中导数的最高阶数。【例2】图6-2为一维梁元素，节点位移分别为2211,,,ww，下标1代表节点1的，下标2代表节点2的，节点位移列阵为Tww}{}{2211（6-10）因为节点位移有四个，我们以3次多项式表达挠度w，即342321xaxaxaaw（6-11）或}]{[xw（6-12）式中：]1[][32xxxxTaaaa}{}{4321显然，（6-11）式的阶次并不满足平衡方程式（6-8）。利用节点位移（6-10）式，可得}]{[}{c（6-13）则（6-12）式化为}]{[}]{[][Ncxw（6-14）式（6-14）中的矩阵][N为位移插值函数，其物理涵意在一般有限元书中均有说明。下面由式（6-14）式导出几何矩阵][B，梁的弯曲应变为}]{[22Bzxwz（6-15）（6-15）式中的][B阵为图6-2一维梁元素114][][22NxB（6-16）将（6-14）式中的][N代入（6-16）式，可求出几何矩阵][B为])13(2)12(6)23(2)12(6[][22LxLLxLLxLLxLLB最后，利用（4-16）式求出梁的总位能泛函为}{d}{][}{d]][[][2100peLTLTFxPNxBDB（6-17）式中EJD][为梁的抗弯模量，AdydzzJ2为梁横截面关于y轴的惯性矩。由泛函p的驻值条件，即0δp，可得}~{}]{[eFK（6-18）式中}{d}{][}~{0eLTeFxPNF（6-19）为梁元素的等效节点力。利用能量法求近似解的方法较多，其中Rayleigh-Ritz法是一种有效而应用得比较多的一种方法。其主要是选用一系列满足位移边界条件的函数来离散实际位移，如niiiwaw1（6-20）ia为待定参数。将上式代入总位能泛函中，得到以ia为独立变量的泛函如)(21ppnaaa，，，利用泛函驻值条件，0δδ1ppniiiaa（6-21）得到一组代数方程式，),,2,1(0pniai（6-22）譬如对于图6-1所示的一端固持一端简支的梁，（6-1）式表示其边界条件。现取)(),(3221LxxwLxxw（6-23）显然，（6-23）式是满足位移边界条件的两个连续函数。梁的可能挠度w可取为)()(2221LxxaLxxaw（6-24）这类函数的形式甚多，这里不在列举。115【例3】薄板的总位能泛函及其变换形式。总位能泛函在薄板中也得到广泛应用。下面我们讨论略去横向剪切效应的Kirchhoff板的总位能泛函的形成过程。图6-3为板边界的正向边界力的规定，nsnzMMV,,表示给定的边界力，p为分布法向载荷。其应变能为AxyxyyyxxyxkMkMkMUdd)(21（6-25）xk，yk，xyk为板的曲率，在一般薄板弯曲理论中可以查到各基本公式，如yxwywxwkkkxyyx22222（6-26）yxwywxwDMMMxyyx2222222)1(000101（6-27）式中)1(1223EtD，是材料的泊松系数。将（6-26）式和（6-27）式代入（6-25）式中，可求得图6-3弯曲板正向边界力116AyxyxwywxwywxwDUdd]})()[1(2){(222222222222（6-28）给定边界上的外力是由以下几部分组成：表面法向载荷p、法向给定边界力矩nM及等效给定剪力sMVnsz组成，于是外力位能V等于1d)]([ddCnsznAssMVnwMyxwpV(6-29)式中1C表示力的给定边界，而用2C表示位移给定边界。总位能泛函为AyxyxwywxwywxwDdd]})()[1(2){(222222222222piCnsznAyxwsMVnwMyxwpdd])([dd（6-30）（6-30）式给出的薄板总位能泛函的一般形式。对于具体薄板（给定位移边界及力边界条件等各种情形），上式应作相应调整。譬如对四边简支矩形板，承受分布载荷p，如图6-4所示，泛函（6-30）式只保留前两项积分。如果利用Rayleigh-Ritz法求解，可取三角函数来求挠度w，如下面的形式，11πsinπsinmnmnbynaxmAw（6-31）泛函（6-30）可改写为图6-4四边简支矩形板117AAyxwpyxyxwywxwywxwDdddd]})()[1(2){(222222222222p（6-32）对（6-31）式求导，并利用三角函数积分正交性，再代入（6-32）式后，可得112222248πmnmnbnamADabU),(0),(π4dd11200为偶数，为奇数，nmnmmnAabxywpVmnmnab（6-33）最后，利用总位能的驻值条件0pmnA（6-34）得到一组代数方程，从而求出系数mnA，并得到挠度值w。总位能原理泛函为位移协调元素模型的建立作出了贡献，问题的实质是由变分泛函直接形成离散的有限元素模型，而不是通过变分运算得到微分方程。元素刚度矩阵的形成过程在有限元专著中均可查到，这里只简单的回顾一下。如图6-5所示的矩形弯曲薄板，节点位移为}}{δ}{δ}{δ}{δ{}δ{4321e（6-35）其中}{}δ{yixiiiw)4,3,2,1(i，iw、xi、yi分别表示节点挠度、转角等。通过双线性插值函数，完成位移的离散，如eNw}δ]{[（6-36）式中][][444333222111yxyxyxyxNNNNNNNNNNNNN)4,3,2,1(,,iNNNyixii都是yx,的四次多项式（各式可查阅有限元素法教材）。应变与节点位移关系，是由几何矩阵][B体现的，如eB}δ]{[}{（6-37）几何矩阵][B为3×12矩阵图6-5矩形弯曲板元118yxNyxNyxNyxNyNyNyNyNxNxNxNxNByyxyyxyyx421212122422122122122422122122122222现将（6-36）式和（6-37）式代入总位能泛函，经过整理后，可得}~{}]{[21peeeeFK（6-38）式中，刚度矩阵VTVBDBKd][][][][（6-39）等效节点力}{d][}~{FeApNFATe（6-40）（6-40）式}{Fe为实际作用到节点上的载荷，它组成等效节点载荷的一部分。由驻值条件0δp，得到薄板弯曲时的刚度方程为}~{}]{[eeFK（6-41）【例4】现在讨论图6-6所示薄板的屈曲失稳情形。在失稳之前，我们假定在薄板的中面上承受平面应力00,yxKK和0xyK，这里K表示一比例常数（有的书上用表示）。这些应力可视为初应力，它们均满足平衡条件和力的边界条件（忽略体力）：0,jij（在体积V内）jijnT（在S或1C上）（6-42）另一种边界为位移边界2C（或称uS），对于总位能泛函，则需要预先给定，如0wvu及0nw（在2C上）（6-43）薄板的中面力可以用单位长度上的力000,,xyyxNNN表示，这部分力可视为在失稳过程中是不改变大小与方向的常量，由于中面的平面内的变形，这些力所作用的功为AxyyxyxywxwNywNxwNKVdd]2)()([2102020（6-44）图6-6薄板的屈曲失稳119注意积分号内的0xN等以压力为正，所以在积分号内各力在计算时均取正值。将（6-44）式代入总位能泛函，则可写出AyxywxwyxwywxwDdd]})[1(2){(2122222222222pAxyyxyxywxwNywNxwNKdd]21)()([2102020（6-45）式中挠度w为独立变量，从总位能泛函自变量w的约束条件要求，则w必须满足给定的边界条件如（6-43）式之2C边界等。经过对（6-45）式泛函自变量的离散化，并按有限元素法刚度方程的形成过程，最后可求得一组特征方程，并由此而求出其特征根，确定了失稳临界系数crK。§6.2总余能泛函转换形式及其应用由§4.1节中的（4-22）式定义了总余能泛函为uSiiVijSuTVBdd)(c（4-22）该泛函为单变量泛函，自变量为力或广义力，泛函成立的约束条件是自变量处处满足平衡方程及力的边界条件，这与总位能原理相对应，它同总位能原理类似，也是属于两种不同场量的经典变分原理。总余能原理在有限元素法中的应用，不如总位