第六节无穷下的比较

经济数学---微积分教案山东女子学院1第六节无穷小的比较教学目的：理解无穷小比较的有关概念；掌握等价无穷小的应用。教学重点：无穷小比较的有关概念，等价无穷小替换定理。教学难点：等价无穷小替换定理的应用教学内容：设)(x，)(x是当0xx时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：)()(xx，)()(xx，)()(xx都是当0xx时的无穷小量。但)(/)(xx当0xx时是否是无穷小量呢？例如，,)(xx，2)(xx，xxsin)(，xxcos1)(当0x时都是无穷小量，0)()(lim0xxx，1)()(lim0xxx，21)()(lim0xxx，)()(lim0xxx。一、无穷小比较定义设0lim，0lim，则（1）如果0lim，就说是比高阶的无穷小，记作)(o；（2）如果lim，就说是比低阶的无穷小；（3）如果0limc，就说是与同阶的无穷小；（4）如果1lim，就说与是等价无穷小，记作~；（5）如果lim0,0kck，就说是关于的k阶无穷小。二、等价无穷小的替换定理定理：设~,~,且lim存在，则lim=lim。推论：设~,~,且()lim()fxgx存在，则)()(limxgxf存在，且)()(limxgxf=()lim()fxgx。评注：在计算极限的过程中，可将分子或分母的的乘积因子换为与其等价的无穷小，这种替换有时可简化计算，但注意在加、减运算中不能用。例1：当0x时，22xx与23xx相比，哪一个是高阶无穷小？经济数学---微积分教案山东女子学院2解：由于22320022limlimxxxxxxxxx，所以当0x时，22xx是23xx的低阶无穷小。三、常用的等价无穷小替换0x：xx~sin，xx~tan，xx~arcsin，xx~arctan，xx~)1ln(，xex~1；2~cos12xx，xx~)1(。例2：求下列极限（1）xxxxxtansintanlim20（2）1tan1tan1lim0xxexx解：（1）2222200001tansintan(1cos)1cos12limlimlimlimtantan2xxxxxxxxxxxxxxxx。（2）001tan1tan2tanlimlim1(1tan1tan)xxxxxxexxx02lim1(1tan1tan)xxxxx。