第十二章动量矩定理(修改后).

1理论力学第十二章动量矩定理2第十二章动量矩定理§12-1质点和质点系的动量矩§12-2动量矩定理§12-3刚体绕定轴的转动微分方程§12-4刚体对轴的转动惯量§12-5质点系相对于质心的动量矩定理§12-6刚体的平面运动微分方程3§12-1质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩质点对于点O的动量矩——质点Q的动量对于点O的矩。即质点对于z轴的动量矩——质点动量mv在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩。即)(vmMZ质点Q的动量矩矢在过点O的z轴上投影，等于对z轴的动量矩。即ZOm)(vM在国际单位制中动量矩的单位为kgm2/s)(vMOmvrmxyOmM)(v)(vmMZ4二、质点系的动量矩质点系对点O的动量矩质点系对z轴的动量矩)(iiZZmMLv质点系对点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。ZZOLL§12-1质点和质点系的动量矩niiiOOm1)(vML——各质点对点O的动量矩的矢量和。即——各质点对z轴的动量矩的代数和。即5刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。niniiiiiiZZrvmmML11)(vniniiiiiirmrrm112称为刚体对于z轴的转动惯量，于是,12niZiiJrm令ZZJL§12-1质点和质点系的动量矩刚体转动时，刚体对转轴的动量矩为6§12-2动量矩定理一、质点的动量矩定理)(vMmO)(FMO质点对定点O的动量矩作用力F对同一点O的矩)(vMOmdtdvrm将动量矩对时间取一阶导数，得Fr)(vrmdtdvrmdtd)(vrmdtd7§12-2动量矩定理vrdtdFv)(mdtdFrvvvMOmmdtd)(则上式为0vvm)(FMFrO因为所以)()(FMvMOOmdtd上式为质点动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。)()()(vrvrvrvMOmdtdmdtdmdtdmdtd8上式在直角坐标轴上的投影式)()(FvxxMmMdtd)()(FvyyMmMdtd)()(FvzzMmMdtd§12-2动量矩定理)()(FMvMOOmdtd9§12-2动量矩定理二、质点系的动量矩定理设质点系内有n个质点。Fi(i)——第i个质点上的内力，Fi(e)——第i个质点上的外力。由质点的动量矩定理有：)()()()()(eIOiiOiiOmdtdFMFMvM这样的方程共有n个，相加后得nieiniiiOniiOmdtd1)(01)(1)()()(FMFMvMi而niii1)(00)(FMniOOniiOdtddtdmdtd11)()(LvmMvMiii所以nieiOOdtd1)()(FML10§12-2动量矩定理上式称为质点系动量矩定理：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点O的主矩）。应用时，取投影式nieixxdtd1)()(FMLnieiyydtd1)()(FMLnieizzdtd1)()(FML11§12-2动量矩定理三、动量矩守恒定律质点：如果0)(FMO)(vMmO则常矢量。如果0)(FxM则)(vmMx常量。上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律。质点系：如果0)()(eiOFM则则如果OL常矢量。0)()(eixMFxL常量。上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律。12§12-2动量矩定理【例1】高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩M，小车和矿石总质量为m，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。13§12-2动量矩定理解：取整体为研究对象)(mvRJLo)sin()()(RmgMmeioF由质点系对O轴的动量矩定理，有：RmgMmvRJdtdsin因Rvadtdv得22sinmRJmgRMRa14§12-2动量矩定理【例2】已知:21。、、rmmm求角加速度。解：取整体为研究对象2222121mrrmrmLO221)21(rmmmgrmmFMeO)()(21)(由质点系对O轴的动量矩定理，有：grmmdtdrmmm)()21(21221rmmmgmmdtd)22()(2212115§12-2动量矩定理【例3】水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂时，系统绕z轴的角速度为ω0。如果此时细线拉断后，杆AC和BD各与垂线成θ角，不计各杆的质量，求这时系统的角速度ω。16§12-2动量矩定理解：取整体为研究对象因为0)()(eZMF所以常数ZL当θ=0时，020122maamaLZ当θ≠0时，22)sin(2lamLZ由LZ1=LZ2，得022)sin(laa17§12-3刚体绕定轴的转动微分方程主动力：F1，F2，……，Fn轴承约束力：FN1，FN2由质点系对z轴的动量矩定理，有niiZZMJdtd1)()(F或n1iF)(iZZMdtdJ上式也可写成或以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。转动惯量是刚体转动惯性的度量。niiZZFMdtdJ122)(niiZZFMJ1)(18§12-3刚体绕定轴的转动微分方程【例4】飞轮对轴O的转动惯量为Jo，以角速度ω0绕轴O转动。制动时，闸块给轮以正压力FN，已知闸块与轮之间的滑动摩擦因数为f，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。解：以轮为研究对象取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为：RfFFRdtdJNO积分000tNORdtfFdJ解得RfFJtNO019§12-3刚体绕定轴的转动微分方程【例5】提升装置中，均质圆轮A、B的质量分别为m1、m2,半径分别为r1、r2,物体C的质量为m3，轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。20§12-3刚体绕定轴的转动微分方程解:取轮A为研究对象11121121FrMrm再取轮B和物体C为研究对象232232222')21(grmrFvrmrmdtd23232222)'(21rgmFarmrm因为2211rra'FF得)2()(23211311mmmrgmrMa21§12-4刚体对轴的转动惯量刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对任意轴z的转动惯量定义为niiizrmJ12由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。在国际单位制中其单位为kg•m2。转动惯量恒为正值。22§12-4刚体对轴的转动惯量一、简单形状物体的转动惯量计算（1）均质细直杆对于z轴的转动惯量设杆长为l，单位长度的质量为ρ,取杆上一微段dx，其质量mi=ρdx，则3)(302lxdxJlz杆的质量lm于是231mlJz23§12-4刚体对轴的转动惯量（2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量设圆环质量为m，质量mi到中心轴的距离都等于半径R，所以圆环对于z轴的转动惯量为222mRmRRmJiiz2mRJz即24§12-4刚体对轴的转动惯量（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的半径为R，质量为m。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为Aiiidrrm2式中2RmA，是均质圆板单位面积的质量。因此圆板对于中心轴的转动惯量RAAORrdrrJ042422或221mRJO25§12-4刚体对轴的转动惯量二、回转半径（或惯性半径）回转半径（或惯性半径）定义为mJzz如已知ρz，则2zzmJ即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。26§12-4刚体对轴的转动惯量三、平行轴定理定理刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即2mdJJzCz证明：设点C为刚体的质心，刚体对于通过质心的z1轴的转动惯量为JZc，刚体对于平行于该轴的另一轴z的转动惯量为JZ，两轴间距离为d。分别以C、O两点为原点，作直角坐标系Cx1y1z1和Oxyz，不失一般性，可令轴y与轴y1重合。27§12-4刚体对轴的转动惯量)(212121yxmrmJiizC)(222yxmrmJiiz因为x=x1，y=y1+d，于是2121)(dyxmJiZiiimdymdyxm2121212)(由质心坐标公式iiCmymy1当坐标原点取在质心C时，yC=0，又有mmi于是得2mdJJzCz01ymi28§12-4刚体对轴的转动惯量【例6】质量为m，长为l的均质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心C的轴zc的转动惯量。解：因为231mlJz应用平行轴定理，得22121)2(mllmJJzzC29§12-4刚体对轴的转动惯量四、计算转动惯量的组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。例:钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求JO。解：盘杆OOOJJJ2131lm)423(213122221lRlRmlm])(21[2222RlmRm30§12-4刚体对轴的转动惯量五、确定转动惯量的实验法例如，欲求物体对于轴O的转动惯量，可将该物体在轴O悬挂起来，并使其作微幅摆动。设φ角以逆时针方向为正。物体的转动微分方程为sin22mgadtdJO物体作微幅摆动，有sin，得mgadtdJO22或022OJmgadtd此方程的通解为)sin(0tJmgaOφ0称为角振幅，θ是初相位，它们都由运动初始条件确定。31摆动周期为§12-4刚体对轴的转动惯量mgaJTO2测定mg，a和摆动周期T，则物体对于轴O的转动惯量可按照下式计算：224mgaTJO又如，欲求圆轮对于中心轴的转动惯量，可用单轴扭振、三线悬挂扭振等方法测定扭振周期，根据周期于转动惯量之间的关系计算转动惯量。32§12-5质点系相对于质心的动量矩定理点O为定点，点C为质点系的质心，质点系对定点O的动量矩为iiiiiOOmmvrvML)('iCirrriiiCOmvrrL)('iiiiiCmmvrvr'CiimmvvCCCOmLvrLiiiCmvrL'是质点系相对于质心的动量矩。根据质点系动量计算公式于是得33质点系对于定点O的动量矩定理nFrLvrL1)()(ieiiCCCOmdtddtdninieiieiCCCCCCdtdmdtdmdtd11)(')(FrFrLvrvr因CCdtdvrCCdtdav0CCvvnieiCm1)(Fa于是n1iFrL)('eiiCdtdnieiCCdtd1)()(FML即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。这个结论称为质点系对于质心的动量矩定理。§12-5质点系相对于质心的动量矩定理34引入固连于质心C的平动参考系irCivvv则质点系对于质心的动量矩为''Ciimmrr由质心坐标公式，有rC’为质心C相对于动系Cx'y’z’的矢径,显然,0'Cr即0'iimr于是得iriiCmvrL'可见，计算质点系相对于质心的动量矩时，用