第十章应力状态和强度理论(工程力学).

第10章应力状态和强度理论10.1应力状态的概念FF2coscossinsin22ppppPAPAcoscosFmmCL10TU3FABCDEABCDE•主平面：切应力为零的平面•主应力：主平面上的正应力•主方向：主平面的法线方向•可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。•三个主应力用σ1、σ2、σ3表示，按代数值大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3应力状态的分类：•单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零•二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零•三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零•单向应力状态也称为简单应力状态•二向和三向应力状态统称为复杂应力状态10.2平面应力状态下的应力分析xyxyyxxxyyyyxx一、解析法yyyxxxxyyxnyyxxσ：拉应力为正τ：顺时针转动为正α：逆时针转动为正nAAsinAcosxyxyxxyx2222222cossinsincos和都是的函数。利用上式便可确定正应力和切应力的极值。dd2222xyxsincos若时，能使00ddxyx222000sincosxyxyxxyx2222222cossinsincostan220xxy0090、它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面,maxminxyxyx2222dd()cossinxyx222若时，能使10dd()cossinxyx222011xyxyxxyx2222222cossinsincos用完全相似的方法可确定切应力的极值tan221xyx1190、它们确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大和最小剪应力,maxminxyx222tantan21210ctg20229010即1045即：最大和最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45tan220xxytan221xyx二、图解法xyxyx22221cossin()xyx2222sincos()()(),1222得xyxyx222222()()xxyyR02022圆心坐标为，半径为xyxyx20222应力圆莫尔(Mohr)圆xyxyx222222yyyxxxxyyx下面根据已知单元体上的应力σx、σy、τx画应力圆(,)xx(,)yy下面利用应力圆求任意斜截面上的应力(,)2yyyxxxxyyxn(,)yy(,)xx例：分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大切应力值。单位：MPaxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.解：(一)使用解析法求解xyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或min65maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或maxmintan..xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa,,MPa123或max1050225.maxminxyx28522MPa(二)使用图解法求解作应力圆，从应力圆上可量出：102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.10.3三向应力状态简介主单元体：六个平面都是主平面123若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的各斜截面上的应力。112233332σ3对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力σ1和σ2所画的应力圆圆周上各点的坐标。1123同理，在平行于σ2的各个斜截面上，其应力对应于由主应力σ1和σ3所画的应力圆圆周上各点的坐标。112233123在平行于σ1的各个斜截面上，其应力对应于由主应力σ2和σ3所画的应力圆圆周上各点的坐标。112233123123这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和切应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。123至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点的坐标来表示。•在三向应力状态情况下：max1123•τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示min3max132例：求图示应力状态的主应力和最大切应力（应力单位为MPa）。30202302024052242222..MPa解：50MPamax.132472MPa1322302023020240522422..MPa2MPa50例：求图示应力状态的主应力和最大切应力（应力单位为MPa）。123MPaMPaMPaMPa50505025013max解：例：求图示应力状态的主应力和最大切应力（应力单位为MPa）。120402120402301303022MPa解：max13280MPa30MPa12221204021204023013030MPa3MPa3010.4广义胡克定律纵向应变：E横向应变：E123下面计算沿方向的应变：11引起的应变为23、引起的应变为12E13E当三个主应力同时作用时：11231E（）11E广义胡克定律：112322313312111EEE（）（）（）1211222131211EEE()()()对于二向应力状态：10.5强度理论材料破坏的形式主要有两类：maxmax[][]流动(屈服)破坏断裂破坏材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂相应地，强度理论也可分为两类：一类是关于脆性断裂的强度理论；另一类是关于塑性屈服的强度理论。一、关于脆断的强度理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）•它假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力σ1达到单向拉伸断裂时的极限应力σu，材料即破坏。•在单向拉伸时，极限应力σu=σb•失效条件可写为σ1≥σb1[][]bn•第一强度强度条件：试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）•它假定，无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变的极限值εu，材料即破坏。•所以发生脆性断裂的条件是ε1≥εu•若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则11231EEEuub（）,•由此导出失效条件的应力表达式为：123()b[]bn123()[]•第二强度条件：煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。二、关于屈服的强度理论•1.最大切应力理论（第三强度理论）•它假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大切应力τmax达到单向拉伸屈服切应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。•屈服破坏条件是：maxs•用应力表示的屈服破坏条件：max,1322ss13s[]sn13[]•第三强度条件：第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多数情况下远比此为小。2.形状改变比能理论(第四强度理论)•它假定，复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服。•屈服破坏条件是：duuu2221223311()()()6duE•简单拉伸时：uEus16221230s,12122232312()()()s12122232312()()()[]•屈服破坏条件是：•第四强度条件：这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。四个强度理论的强度条件可写成统一形式：r[]rrrrr112123313412223231212()()()()称为相当应力•一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。•影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。无论是塑性材料或脆性材料：在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。例：填空题。冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于应力状态，而水管处于应力状态。三向压二向拉•在纯剪切应力状态下：•用第三强度理论可得出：塑性材料的许用切应