第十章计数原理概率随机变量及其分布10-7

进入导航高三总复习·人教版·数学·理必考部分进入导航高三总复习·人教版·数学·理必考部分·第十章第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理第七节离散型随机变量及其分布列第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理课堂实效·检测课时作业主干知识·整合热点命题·突破第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理主干知识·整合01要点梳理追根求源第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理1．随机变量随着试验结果的不同而变化的变量，常用大写字母X，Y，…表示．2．离散型随机变量所有可能的取值都能的随机变量．一一列举出来随机变量的有关概念第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理随机变量和函数的联系与区别提示：联系：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；随机试验的结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．区别：随机变量的自变量是试验结果，而函数的自变量是实数x.第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理1．判一判(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()答案：(1)√(2)×(3)√第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理2．抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点解析：甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.答案：D第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理1．若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn；取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的．离散型随机变量的分布列及性质概率分布列第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理2．性质：(1)；(2).pi≥0(i＝1,2，…，n)i＝1npi＝1第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理3．设随机变量X的概率分布为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.解析：由13＋m＋14＋16＝1得m＝14，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝16＋14＝512.答案：512第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数X的分布列为________．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理解析：X的所有可能值为0,1,2.P(X＝0)＝C11C11C12C12＝14，P(X＝1)＝C11C11×2C12C12＝12，P(X＝2)＝C11C11C12C12＝14.∴X的分布列为X012P141214第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理答案：X012P141214第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理1．两点分布：若随机变量X分布列为X10Ppq，其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．常见离散型随机变量的分布列第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理2．超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布．CmMCn－mN－MCnN第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理5．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球．设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为__________．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理解析：ξ可取0,1,2.又P(ξ＝0)＝C22C25＝0.1，P(ξ＝1)＝C13·C12C25＝0.6，P(ξ＝2)＝C23C25＝0.3.∴ξ的分布列为ξ012P0.10.60.3第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理答案：ξ012P0.10.60.3第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．2．注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理3．求概率分布的常见类型(1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理热点命题·突破02考点突破解码命题第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理【例1】(1)随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝__________.离散型随机变量分布列的性质第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理(2)已知随机变量ξ的分布列为ξ－2－10123P1616141611216求η1＝12ξ的分布列．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理(1)根据等差数列及分布列的性质求出a＋c的值是关键；(2)根据η1与ξ的对应关系求出η1的值及相应概率．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理【解析】(1)∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝13，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝23.【答案】(1)23第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理(2)由于对于不同的ξ有不同的取值所以有ξ－2－10123η1－1－12012132所以η1的分布列为η1－1－12012132P1616141611216第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理由于ξ的不同的值，η＝f(ξ)会取到相应的值，这时要考虑所有使f(ξ)＝η成立的ξ1，ξ2，…，ξi的值，则P(η)＝P(f(ξ))＝P(ξ1)＋P(ξ2)＋…＋P(ξi)．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理解析：由分布列的性质知1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，∴q＝1－22.答案：C第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理【例2】(2014·江苏卷，节选)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数．求X的概率分布．离散型随机变量分布列的求法第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理【解】(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P＝C24＋C23＋C22C29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝C44C49＝1126；第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝C34C15＋C33C16C49＝20＋6126＝1363；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－1363－1126＝1114.第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理所以随机变量X的概率分布如下表：X234P111413631126第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后通过概率知识求出X取各个值对应的概率值，注意利用分布列的性质验证．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520(1)从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；(2)从40人中任选2名学生，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理解：(1)依题意得，这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为P＝1－C15C115C120C340＝419494.(2)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C25＋C215＋C220C240＝61156；P(X＝1)＝C15C115＋C115C120C240＝75156；P(X＝2)＝C15C120C240＝539.第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理则随机变量X的分布列为：X012P6115675156539第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理【例3】(2014·天津卷)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．超几何分布问题第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理【解】(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3，P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列为X0123P1612310130随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．第十章·第七节进入导航高三总复习·人教版·数学·理从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；