第十组MATLAB仿真镜像法

电磁场与电磁波大作业姓名：马杰学号学号：13020310011刘万康13020310009秦旺13020310014潘尚伟13020310013张一鸣13020310012黄璞13020310023一，实验要求：运用镜像电荷方法计算和模拟无穷大直角导体内部点电荷电位，电场计算及分布图。二，什么是镜像法镜像法是解静电边值问题的一种特殊方法。它主要用来求分布在导体附近的电荷（点电荷、线电荷）产生的场。如在实际工程中，要遇到水平架设的双线传输线的电位、电场计算问题。当传输线离地面距离较小的时候，要考虑地面的影响，地面可以看作一个无穷大的导体平面。由于传输线上所带的电荷靠近导体平面，导体表面会出现感应电荷。此时地面上方的电场由原电荷和感应电荷共同产生。镜像法是应用唯一性定理的典型范例。在镜像法应用中应注意以下几点：1)镜像电荷位于待求场域边界之外。2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。三，点电荷对相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像设在自由空间有一点电荷q位于无限大接地导体平面上方，且与x导体平面距离为a,与z导体平面距离为d.XZqda点电荷无限大导体平面左上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。待求场域为z0，x0空间，边界为x=0,z=0的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即∅(𝑥,𝑦,𝑧)=0(2.1)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。在原边界之外(-a,0,d)放置一镜像电荷q2，q2=-q，在(-a,0,-d)放置一镜像电荷q3，当q3=+q，在(a,0,-d)放置一镜像电荷q4，当q4=-q，如图2所示。点电荷q1和镜像电荷q2,q3.q4在边界上产生的电位满足式(2.1)所示的边界条件。XZr3r1r2rr4+q-q+q-q图2镜像法图示根据镜像法原理，在x0,z0空间的电位为点电荷q1和镜像电荷q2,q3,q4所产生的电位叠加，即ϕ=14πε0{qr1−qr2+qr3−qr4}ϕ=q4πε0{1((x−a)2+y2+(z−d)2)12−1((x+a)2+y2+(z−d)2)12+1((x+a)2+y2+(z+d)2)12−1((x−a)2+y2+(z+d)2)12}(2.2)上半空间任一点的电场强度为𝐸⃑=−∇∅电场强度𝐸⃑的三个分量分别为EX=q4πε0{x−a((x−a)2+y2+(z−d)2)32−x+a((x+a)2+y2+(z−d)2)32+x+a((x+a)2+y2+(z+d)2)32−x−a((x−a)2+y2+(z+d)2)32}(2.3.1)Ey=q4πε0{y((x−a)2+y2+(z−d)2)32−y((x+a)2+y2+(z−d)2)32+y((x+a)2+y2+(z+d)2)32−y((x−a)2+y2+(z+d)2)32}(2.3.2)Ez=q4πε0{z−d((x−a)2+y2+(z−d)2)32−z−d((x+a)2+y2+(z−d)2)32+z+d((x+a)2+y2+(z+d)2)32−z+d((x−a)2+y2+(z+d)2)32}(2.3.3)可见，在导体表面x=0,处，𝐸𝑦=𝐸𝑧=0，只有𝐸𝑥存在,在导体表面z=0处𝐸𝑥=𝐸𝑦=0，即导体表面上法向电场存在。导体表面感应电荷分布可由边界条件决定，即ρx=0=aq2π(−1(a2+y2+(z−d)2)32+1(a2+y2+(z+d)2)32)(2.4.1)ρz=0=dq2π(−1((x−a)2+y2+d2)32+1((x+a)2+y2+d2)32)(2.4.2)由式(2.4)可以看出，导体表面上感应电荷分布是不均匀的，导体表面上感应电荷为𝑞𝑖𝑛=∫(𝜌𝑥=0+𝜌𝑧=0)𝑑𝑆=𝑎𝑞2𝜋(∫∫(−1(a2+y2+(z−d)2)32+1(a2+y2+(z+d)2)32+∞−∞+∞−∞)+𝑑𝑞2𝜋∫∫(−1((x−a)2+y2+d2)32+1((x+a)2+y2+d2)32)+∞−∞+∞−∞dxdy=-q四，MATLAB实现电场线和电位（镜像电荷理想等效）clearq1=1;q2=-1;q3=1;q4=-1;x1=2;x2=-2;y1=2;y2=-2;xm=5;ym=5;x=linspace(-xm,xm);y=linspace(-ym,ym);[X,Y]=meshgrid(x,y);R1=sqrt((X-x1).^2+(Y-y1).^2)R2=sqrt((X-x2).^2+(Y-y1).^2);R3=sqrt((X-x2).^2+(Y-y2).^2);R4=sqrt((X-x1).^2+(Y-y2).^2);U=q1./R1+q2./R2+q3./R3+q4./R4;u=-4:0.5:4;figurecontour(X,Y,U,u)gridonlegend(num2str(u'))holdonplot([-xm;xm],[0;0])plot([0;0],[-ym;ym])plot(x1,y1,'o','MarkerSize',12)plot(x2,y1,'o','MarkerSize',12)plot(x2,y2,'o','MarkerSize',12)plot(x1,y2,'o','MarkerSize',12)[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1));dth1=10;th1=(dth1:dth1:360)*pi/180;r0=0.1;x1m=r0*cos(th1)+x1;y1m=r0*sin(th1)+y1;x2m=r0*cos(th1)+x2;y2m=r0*sin(th1)+y2;streamline(X,Y,Ex,Ey,x1m,y1m)streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1m,-y1m)streamline(X,Y,Ex,Ey,x2m,y2m)streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2m,-y2m)axisequaltighttitle('点电荷的电场线与等势线','fontsize',20)xlabel('r','fontsize',16)ylabel('E(U)','fontsize',16)txt=['电荷:\itQ\rm_1='num2str(q1)];text(-xm,-ym-0.6,txt,'fontsize',16)txt=[',\itQ\rm_2='num2str(q2)];text(-xm+xm/2,-ym-0.6,txt,'fontsize',16)txt=[',\itQ\rm_3='num2str(q3)];text(-xm,-ym-0.6,txt,'fontsize',16)txt=[',\itQ\rm_4='num2str(q4)];text(-xm+xm/2,-ym-0.6,txt,'fontsize',16)text(0.5,-ym-0.6,txt,'fontsize',16)结果：若改变U，使其扩大10倍，则其图形为：由图不难看出，等势线与电场线垂直，并且电场线密集的地方，等势线也密集。三维电势图由上图可以很好的理解平面上点电荷的电场线和电势线的分布规律，但要想形象的理解电荷电势的变化规律，则需借助三维仿真功能。由于在点荷处分母会出现零的情况，因此在半径里增加一个小量0.01.这样既不会对结果造成太大影响，又能完成计算。Matlib程序：[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);z=1./sqrt((x-1).^2+(y-1).^2+0.01)-1./sqrt((x-1).^2+(y+1).^2+0.01)+1./sqrt((x+1).^2+(y+1).^2+0.01)-1./sqrt((x-1).^2+(y+1).^2+0.01);Surf(x,y,z)ShadinginterpColormap(jet)三维图形：五、总结和体会：由于电场看不见，摸不着，实验中通过仿真软件MATLAB绘出的电场（或电势）的分布图，让我们对电场这种物质有了更深的感性认识，对于相应知识的理解和吸收有很大的帮助。在以前的学习中，我仅只是使用MATLAB的数值计算的功能，通过这个实验，对于MATLAB强大的仿真功能有了更加深刻的了解，为深层次的学习此软件开了一个很好的头。通过MATLAB画出的电场线和等势线能加深我们对电场的了解，在画图的过程中，我明白了当四个电荷电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的，电场线与等势线总是垂直的。