第四章一阶线性动态电路分析.

第4章一阶动态电路分析动态元件4.1换路定律和电路的初始值4.2一阶电路的零输入响应4.3一阶电路的零状态响应4.4一阶电路的全响应4.5本章学习任务1.理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于电路分析；2.明确电路过渡过程的概念及其产生的原因；3.掌握换路定律的内容，能熟练计算电路中电流、电压的初始值；4.明确一阶RC和RL电路的零输入响应、零状态响应和全响应的状态含义以及电路分析思想；本章学习任务5.熟悉一阶电路过渡过程中时间常数τ的含义；6.弄懂动态电路方程的建立及解法；7.熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素法，能用其正确求解一阶电路的过渡过程；4.1动态元件4.1.1电容元件4.1.2电感元件4.1.1电容元件电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。斜率为R0qu电容的符号、线性非时变电容的特性曲线当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=Cu(t)C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有：i=Cdq/dt非关联时：i=-Cdq/dt+-uCi+q-q电容的伏安还可写成：diCdiCtut)(1)(1)(00tdiCu0)(1)0(式中，u(0)是在t=0时刻电容已积累的电压，称为初始电压；而后一项是在t=0以后电容上形成的电压，它体现了在0~t的时间内电流对电压的贡献。由此可知：在某一时刻t，电容电压u不仅与该时刻的电流i有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，，有“记忆”电流的作用。当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：dttdutCutitutp)()()()()(瞬时功率可正可负，当p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当p(t)0时，说明电容是在供出能量，处于放电状态。对上式从∞到t进行积分，即得t时刻电容上的储能为：)(21)(21)()()()(22)()(CutCuduCudptwttuuC式中u(-∞)表示电容未充电时刻的电压值，应有u(-∞)=0。于是，电容在时刻t的储能可简化为：)(21)(2tCutwC由上式可知：电容在某一时刻t的储能仅取决于此时刻的电压，而与电流无关，且储能≥0。电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，它本身不消耗能量，也不会释放出多于它吸收的能量，所以称电容为储能元件。4.1.2电感元件电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感元件是它的理想化模型。当电流通过感器时，就有磁链与线圈交链，当磁通与电流i参考方向之间符合右手螺旋关系时，磁力链与电流的关系为：0i斜率为R+-uLi电感元件模型符号及特性曲线当u、i为关联方向时，有:这是电感伏安关系的微分形式。dtdiLuΨ(t)=Li(t)Ψ电感的伏安还可写成：duLduLtit)(1)(1)(00tduLi0)(1)0(式中，i(0)是在t=0时刻电感已积累的电流，称为初始电流；而后一项是在t=0以后电感上形成的电流，它体现了在0-t的时间内电压对电流的贡献。上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于该时刻的电压值，还取决于-∞~t所有时间的电压值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有“记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功率为：dttditLititutp)()()()()(与电容一样，电感的瞬时功率也可正可负，当p(t)0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当p(t)0时，表示供出能量，释放磁场能量。对上式从∞到t进行积分，即得t时刻电感上的储能为：)()(21)()()()(22)()(itiLdiLidptwttiiL因为0)(Lw所以)(21)(2tLitwL由上式可知：电感在某一时刻t的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，就有储能，且储能≥0。4.2换路定律和电路的初始值4.2.1.换路定律4.2.2动态电路分析方法4.2.1.换路定律通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。1）定律的内容若电容电压、电感电流为有限值，则uC、iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC、iL是相等的，可表达为：uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)必须注意：只有uC、iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。2）初始值的确定换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用uC(0+)和iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间t=0-电路确定uC(0-)和iL(0-)，再由换路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。电路中其他变量如iR、uR、uL、iC的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是：画出t=0+电路，在该电路中若uC(0+)=uC(0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC(0+)=0则电容用短路线代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS，电感一个电流源IS代替，若iL(0+)=0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。例1：在图(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。解(1)电路在t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0-电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0-时刻的等效电路如图3-3(b)）所示，由该图可知：AiVuLc22310)0(423210)0(（2）由换路定理得AiiVuuLLcc2)0()0(4)0()0(因此，在t=0+瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+时刻的等效电路，如图3-3(C)所示。（3）在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即AiAi144)0(224)0(21iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-3×2-4=04.2.2动态电路分析方法任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。R3+U－iC+uC－CR1R2+US－iC+uC－CR0ISiC+uC－CR0因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单的RC电路和RL电路的求解。一阶动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。1）RC电路分析sUudtduRCCC图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：从而得微分方程：而:1.经典分析法SCRUuutuRCRiutuCiddddCCRCCR+US－iCS+uC－C+uR－解微分方程，得：只存在于暂态过程中，t→∞时uC''→0，称为暂态分量。其中uC'=US为t→∞时uC的值，称为稳态分量。RCtteUUUeUUUu)()(S0SS0SCRCtteUUeUUu)()(S0S0Cτ=RC称为时间常数，决定过渡过程的快慢。t0uCUSU0U0USt0uCU0USU0US波形图：电路中的电流为：R+US－iCS+uC－C+uR－RCtteRUeRUtuCiSSCCdd电阻上的电压为：RCtteUeURiuSSCRiC与uR的波形t0iCUSRt0uRUS2）RL电路分析图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：SLRUuuR+US－iLS+uL－+uR－L因为：LRLLddRiutiLu从而得微分方程：RUitiRLSLLddteRUIRUi)(S0SL解之得：稳态分量暂态分量式中τ=L/R为时间常数经典法求解一阶电路的步骤：（1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系，根据换路后的电路列出微分方程；（2）求微分方程的特解，即稳态分量；（3）求微分方程的补函数，即暂态分量；（4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解；（5）按照换路定理求出暂态过程的初始值，从而定出积分常数。例：图(a)所示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求开关闭合后的电容电压uC和通过3Ω电阻的电流i。3Ω+12V－iC+uC－1F(a)S6Ωi+US－iC+uC－CR(b)－uR+解：用戴微南定理将图(a)所示开关闭合后的电路等效为图(b)，图中：V812366SU23636R由图(a)求uC的初始值为：根据公式（4-15），得电容电压为：V12)0()0(CCuuV48)812(85.0121Ctteeu通过3Ω电阻的电流为：A3434348123125.05.0Ctteeui2.三要素分析法三要素法是对一阶电路的求解方法及其响应形式进行归纳后得出的一个有用的方法。该方法能够比较方便的求得一阶电路全响应。电路的全响应可以表示为稳态响应与暂态响应之和的形式，观察式（4-15），即：不难发现，式中只要将稳态值Us、初始值Uo和时间常数τ确定下来，uc的全响应也就随之确定，如果列出uR、i和uL等的表达式，同样可以发现这个规律。由此，我们知道，初始值、稳态值和时间常数是分析一阶电路的三个要素。根据这三个要素确定一阶电路全响应的方法，就称为三要素法。RCtteUUUeUUUu)()(S0SS0SC求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：tefffftf)]()0([)()(式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。对于RC电路，时间常数为：RC对于RL电路，时间常数为：RL例：图示电路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的uC。解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，故在瞬间电容C可看作开路，因此：V20010201010)0()0(331SCCRIuuIS+uC－CR1SR2（2）求稳态值。当t=∞时，电容C同样可看作开路，因此：V40520105201010)(332121SCRRRRIu（3）求时间常数τ。将电容支路断开，恒流源开路，得：k45205202121RRRRR时间常数为：s4.01010010463RC（4）求uC。利用三要素公式，得：V1604040200405.24.0Ctteeu4.3一阶电路的零输入响应4.3.1一阶RC一阶电路的零输入响应4.3.2一阶RL电路的零输入响应4.3.1一阶RC一阶电路的零输入响应C2R+US－iCS1+uC－图示电路，换路前开关S置于位置1，电容上已充有电压。t=0时开关S从位置1拨到位置2，使RC电路脱离电源。根据换路定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，通过电阻R放电，在电路中产生放电电流iC。随着时间增长，电容电压uC和放电电流iC将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电容的初始状态所引起，故为零输入响应。由初始值uC(0+)=U0，稳态值uC(∞)=0，时间常数τ=RC，电容电压：RCtteUeuu0CC)0(放