第四章弯曲应力.

§4-4梁横截面上的正应力、梁的正应力强度条件一、概述二、纯弯曲时梁横截面上的正应力三、横力弯曲时的正应力四、梁的正应力强度条件一、概述MFsMsFFFaa一、概述FFFsFaM横力弯曲FF纯弯曲FF纯弯曲：横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲。横力弯曲：横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。纯弯曲实验2PPPaaaabbPaPP主梁垫梁(辅助梁)QMPPFsPaM一、概述2PPPaaaabbPaPP主梁垫梁(辅助梁)QMPP1.纯弯曲试验二、纯弯曲时梁横截面上的正应力1.纯弯曲试验2.纵向线：1.横向线：3.上层纤维缩短，下层纤维伸长直线,相对旋转了一个角度平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线梁内横截面变形后仍保持为平面，只是绕着某个轴转动一个角度,仍然与轴线垂直平面假设:纵向纤维之间没有挤压2.纵向线：1.横向线：3.上层纤维缩短，下层纤维伸长直线相对旋转了一个角度平行的弧线，距离没有改变，垂直于横向线单向受力假设：既不伸长、也不缩短的纤维层中性层与横截面的交线对称面中性层横截面横截面对称轴轴线中性层中性轴中性轴变形几何关系lly——中性层的曲率半径mmxnndxybbdddy对于指定的横截面=常量(a)dbbooMMmnnmaaxzyyb2、公式推导bboooobbbbbbbboooooo物理关系y(a)EyE(b)横截面上一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比b.沿横截面的高度，正应力按线性规律变化；a.在中性轴上为零比例极限范围内:Myzxmaxtmaxcmaxtmaxc横截面上正应力的分布图静力关系yE(b)MyzdAxyzM横截面上的应力构成空间平行力系xF(e)(d)(c)AxAyEFdyMZM中性轴必须通过横截面的形心zEIM1自然满足0zSEAAd0AyAd0AzAdMdyAEMyzAd2AEMyAzEIz0S0yzI0yzEIMyzx1梁的中性层变形后的曲率，zEI梁的弯曲刚度反映了梁抵抗弯曲变形的能力在纯弯曲时，梁的轴线被弯曲成静力关系zEIM1梁的轴线变形后的曲率圆弧zIMyzMEI1yEM该截面的弯矩所求点到该截面中性轴的距离y该截面对中性轴的惯性矩zI纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式符号判断法：1.直接代入M和y代数值，σ求出为正，为拉应力；σ求出为负，为压应力。2.代入M和y绝对值，再根据梁段的变形情况判断符号公式讨论zIMy正弯矩：中性轴以下受拉，中性轴以上受压。负弯矩：中性轴以下受压，中性轴以上受拉。的正负号的判断上下边缘同时达到最大值：A.横截面关于中性轴对称时(如矩形、圆形等)zIMymaxmaxmaxyIWzzmaxmaxct最大应力zIMy弯曲截面系数maxyIWzzzWMmax其中：maxyIWzzzybhzyD62bh123bh2h323D2DmaxyIWzz644D反映了梁抵抗弯曲破坏的能力A.横截面关于中性轴对称时zWMmaxB.横截面关于中性轴不对称maxmaxcty2003030zC170cz13961zIMymaxmaxmaxtmaxc1y2yczMyI1maxzMyI2tmax三、横力弯曲时的正应力可按纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力横力弯曲A.变形后，横截面将发生翘曲，不再保持为平面B.纵向纤维之间还可能会发生挤压精确的分析表明当梁的跨长l与横截面的高度h之比大于5时三、横力弯曲时的正应力最大正应力：弯曲正应力：zIMyzWMmax例1试求图示矩形截面梁1-1截面上的D与E点的正应力mkN811M464123310512101006012mmbhIzkN8AFkN12BF1mABC1.5m1mF=20kN11yz6010030DE解：zDDIyM11zEEIyM11MPa8010510501086336310510831030mkN811Myz6010030DE64510mzIMPa48zDDIyM11zEEIyM11MPa801051050108633MPa481051030108633（压）（拉）mkN811Myz6010030DE64510mzI或MPa805030485030DE或例：一跨中受集中荷载作用的简支梁，由18b号槽钢制成。求此梁的最大拉应力和最大压应力，并画出危险截面上的应力分布图。1mABC2mF=5kNz1y2y2.5kNm图M解：（1）作弯矩图max2.5kNmM（2）查表，得4111cmzI11.84cmy271.845.16cmy（3）计算最大应力32max2max82.5105.1610Pa116.2MPa11110tzMyI32max1max82.5101.8410Pa41.4MPa11110czMyImaxtmaxc试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。m4mkN2q100200200100竖放1maxmaxZMW32410Pa0.10.266MPa横放12MPa例题4kNmM图1z2z2maxmaxZMW32410Pa0.20.16解：mm2003021520030100157.52003020030Cy33226420030302002003057.52003057.5121260.110mmCzI例：求maxmax,MM并求各自的最大拉应力和最大压应力max10kNmMmax20kNmM1020·(kNm)M解：20020030302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kNyzcyctmax331612201072.510Pa24.1MPa60.11010CBBBzMyI上cmax3326122010157.510Pa52.4MPa60.11010cBBBzMyI下B截面：C截面：157.5mmCy6460.110mmCzImax10kNmMmax20kNmM2y1y123072.5mmCyy2157.5mmCyyCtmax3326121010157.510Pa26.2MPa60.11010cCzMyIC下Ccmax331612101072.510Pa12.1MPa60.11010CCzMyIC上1020·(kNm)M20020030302m3m1mq=10kN/mF=20kNACBD30kN10kNyzcyc四、梁的正应力强度条件1.对于抗拉和抗压强度相等的材料(如低碳钢)2.对于抗拉和抗压强度不相等的材料(如铸铁）][max][maxtt][maxccmax][许用拉压应力对等直梁：maxMmax)(Mmax)(M等直梁：中性轴是对称轴中性轴不是对称轴maxMmax发生在的截面上。maxMmax)(Mmax)(M（A）（B）截面关于中性轴不对称的梁（脆性材料）：等直梁：危险截面：截面关于中性轴对称时：要确定最大应力，需分别计算最大正、负弯矩所在截面的最大拉、压应力，再作比较。已知工字钢［σ］=215MPa。试选择工字钢型号。159.311.283.7513.1633max613.1610m21510ZMW361.2cm查表N012.6工字钢WZ=77.5cm3例题max13.16kNmMkNsFkNmM解：1、作剪力、弯矩图2、选择工字钢型号由maxmaxZMW得0.937m0.5m2m30kNmqAB46.9kNAF28.1kNBF例铸铁梁的受载情况以及截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用拉应力,许用压应力，其中，,试计算该梁的许可载荷[F]。解：FMFMCA6.08.0危险截面为MPa40][tMPa160][c410180cmzIcm64.91h1400AC600BFF2C1502005050yz1h2hMF60.F80.218max0.89.6410757.61018010AtAzMhFFI228max0.8259.64101207.21018010AcAzFMhFI作弯矩图A截面：C截面：1400AC600BFF2C1502005050yz1h2hMF60.F80.2max280.6259.64101018010905.4CtCzMhIFF218max0.69.6410568.21018010CcCzMhFFI6max905.4[]4010ttσFσ6ccσFσ1207.2max=≤[]=1601044.2kNFkN2.44F132.5kNF对全梁由得由得故许可荷载图示结构承受均布荷载，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力均为[σ]＝160MPa。不考虑切应力，试计算结构的许可荷载[q]。FB34AqF94BqF2、根据梁的强度条件确定荷载例题2m1mABDCqd解：1、作弯矩图q34q54qsF图0.75mq12q932M图max2qM94NBDqF查表得NO.10工字钢:349cmzWFAmaxmaxzMW0.5zqW66491016010N/m15.68kN/m0.50.5ZWq2944NBDqFdA故许可荷载219qd2661201016010N/m915.68kN/mq22.3kN/m3、根据拉杆的强度条件确定荷载ddd2d2dd2d2d例：承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax()()()()()()()()()()()()()()()()AabcBabcCabcDabc；；；。(a)(b)(c)zmax336()6zzMMaddzmax3262().26zzMMbdddzzmax23122()26zzMMcddd答案：B§4.5梁横截面上的切应力、梁的切应力强度条件横力弯曲另一些梁则是因切应力达到剪切强度极限而破坏横截面上既有正应力、又有切应力实践表明有些梁是因正应力达到拉伸或压缩强度极限而破坏跨度小、截面高的木梁一、狭长矩形截面梁的切应力假设：1、横截面上的τ方向与FS平行2、τ沿截面宽度是均匀分布的zyFs即横截面上距中性轴等远各点处的切应力相等。Fs—横截面上的剪力；IZ—截面对中性轴的惯性矩；b—截面的宽度；*szZFSIbmaxbzyAy0y2h2h2max8sZFhI23812sFhbh32sFA矩形截面梁弯曲时横截面上任一点的切应力计算公式SZ＊—该点横线以外部分的面积对中性轴的静矩。022/2()2224ZSAyhhybyybhy22()24syZFhyI切应力沿截面高