第四章控制系统的根轨迹.

1第四章根轨迹法自动控制原理第四章控制系统的根轨迹4-1根轨迹概念4-2一般根轨迹的绘制法则4-3零度根轨迹的绘制法则4-4参数根轨迹（广义根轨迹）4-5增加开环零极点对根轨迹的影响4-6有时间纯滞后环节时的根轨迹2第四章根轨迹法自动控制原理4-1根轨迹的概念!系统特征根的图解方法根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性动响应特性闭环零、极点3第四章根轨迹法自动控制原理例4-1：系统如图，讨论:0k变化时，系统闭环特征根的变化。(1)kssRC解：系统的闭环传递函数为2()ksssk特征方程的两个特征根为1,2111422skk从0变化时，12s,的变化情况如下图。4第四章根轨迹法自动控制原理0-0.5-1-0.50.51,2111422sk4/1＝K2/121ss01s1s2K＝0时4/10K两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2直线向上和向下移动。K4/1一对共轭复根5第四章根轨迹法自动控制原理根轨迹图系统的相关动静态性能信息4/10K4/1＝K4/1K过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）当K值确定之后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。2）闭环极点不可能出现在S平面右半部，系统始终稳定。!系统开环增益确定闭环极点在S平面上的位置也确定。6第四章根轨迹法自动控制原理一般地，对下图所示反馈控制系统()Gs()Hsrc记前向通路的传递函数和反馈通路的传递函数为11()()()fGiiqiikszGssp，11()()()lHjjtjjkszHssp式中，iz为前向通路传递函数的零点，ip为前向通路传递函数的极点，Gk称为前向通路传递函数的根增益；jz为反馈通路传递函数的零点，jp为反馈通路传递函数的极点，Hk称为反馈通路传递函数的根增益。7第四章根轨迹法自动控制原理系统的开环传递函数为*1111()()()()()()flijijqtijijkszszGsHsspsp式中，ijzz、为系统开环传递函数的零点，ijpp、为系统开环传递函数的极点，*GHkkk为系统开环传递函数的根增益，又称为根轨迹增益。系统的闭环传递函数为11*1111()()()()1()()()()()()ftGijijqftlijijijijkszspGssGsHsspspkszsz8第四章根轨迹法自动控制原理1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。4）闭环系统的零点与根轨迹增益无关，而闭环系统的极点与根轨迹增益相关！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。*GHKKK11*1111()()()()1()()()()()()ftGijijqftlijijijijkszspGssGsHsspspkszsz9第四章根轨迹法自动控制原理由于闭环传递函数的零点容易从系统开环传递函数直接得到，故下面只讨论闭环传递函数的极点。为此，将开环传递函数的mfl个零点，统一用iz表示，将开环传递函数的nqt个极点，统一用ip表示，即有*111111()()()()()()()()flmijiijiqntjijjijkszszkszGsHsspspsp则方程式11()1()()10()miinjjkszGsHssp称为根轨迹方程。根轨迹方程中根轨迹增益*k连续变化时，根轨迹方程的特征根在复平面上的变化轨迹称为根轨迹。10第四章根轨迹法自动控制原理将根轨迹方程分解成模值条件：111miinjjkszsp和相角条件：11()()(21)mnijijszspk（:0k）11()()2mnijijszspk（:0k）式中，k整数，k的不同取值对应不同的根轨迹分支，根轨迹共有max(,)nm个分支。:0k变化时的根轨迹称为一般根轨迹，:0k变化时的根轨迹称为零度根轨迹，:k时的根轨迹称为全根轨迹。满足相角条件的点都在根轨迹上，模值条件仅用来求取根轨迹各点上对应的k值。11第四章根轨迹法自动控制原理开环传递函数的增益和根增益之间的关系：将系统的开环传递函数写成时间常数形式有22112211(1)(21)()()(1)(21)ghijjjijdeijjjijksssGsHssTsTsTs开环传递函数的增益k即系统的误差系数（位置、速度、加速度等），开环传递函数稳定时，即开环传递函数的所有极点都位于左半开复平面上时，k即开环传递函数的稳态增益。比较开环传递函数的零、极点表达式和时间常数表达式，对消掉它们位于原点的极点，容易看出开环传递函数的增益和根轨迹增益间的关系为11()()miinjjkzkp即二者成比例关系。12第四章根轨迹法自动控制原理根轨迹的对称性：实际中，开环传递函数的分子和分母多项式是实系数的，根轨迹增益是实数，所以闭环传递函数的分子和分母多项式也是实系数的。实系数多项式的根或者是实根或者是成对出现的共轭复根，所以根轨迹对称于实轴。ImRe0ImRe0ImRe013第四章根轨迹法自动控制原理根轨迹的连续性：设1k是根轨迹增益的某个定值，1kkk，从系统的根轨迹方程有111111111()()()()()()()()0nmnmjijijijinmmjiijiispkszspkkszspkszksz式中，大括号内多项式的根即1kk时系统的闭环根。若将1kk时系统的闭环根作为新的开环传递函数的极点，开环传递函数的零点维持不变，则新开环传递函数:0k变化的根轨迹与原系统1:kk的根轨迹段是重合的。1[]sImRe0.500.50.50.5,0kk,kk1[]sImRe0.500.50.510.5k0kk14第四章根轨迹法自动控制原理同理可以推得，以1kk时的闭环根为新的开环极点，以21kkk时的闭环根为新的开环零点，则新开环传递函数根增益12()():0kkkk变化时的根轨迹，与原开环传递函数根增益k由1k到2k变化时的根轨迹段相重合。上述性质称为根轨迹的连续性。[]sImRe01kk0kk2kk[]sImRe0120kkkk12kkkk15第四章根轨迹法自动控制原理根轨迹的平移相似性：设s是根轨迹上的一点，它满足根轨迹方程式（4-2），设1s为任意指定的复数，显然1ss满足下面的方程111111()()10()()miinjjksszsssps上式说明，若将开环零、极点在复平面上的位置作整体平移后，根轨迹也做相同的平移，形状保持不变。ImRe213ImRe0235ImRe0346116第四章根轨迹法自动控制原理§4-2绘制根轨迹的法则一般根轨迹的绘制法则：法则1（根轨迹的分支数）：特征方程的阶次等于特征根的个数，所以轨迹的分支数等于max,nm。根轨迹方程11()1()()0()miinjjkszGsHssp即11()()0nmjijispksz所以，根轨迹方程的阶次为max(,)mn17第四章根轨迹法自动控制原理法则2（根轨迹的起点和终点）：在根轨迹方程11()1()miinjjszksp中，0k时，若nm，全部n条根轨迹起始于开环极点；若nm，则m条根轨迹中有n条根轨迹起始于开环极点，其余mn条起始于无穷远处。k时，若nm，n根轨迹中有m条终止于开环零点，其余nm条终止于无穷远处，若nm，则m条根轨迹全部终止于开环零点。ImRe0235ImRe02353个极点1个零点的根轨迹1个极点3个零点的根轨迹(5)(2)(5)(5)0(2)(3)(2)(3)(5)(2)(5)0(5)1kssssksssskssssksssskk令，由第一式可以得到第二式，反之亦然。18第四章根轨迹法自动控制原理法则3（实轴上的根轨迹）：实轴上的某一区段，若其右边的开环实数零、极点个数之和为奇数，则实轴上的该区段是根轨迹。1s0ImRe[]s1p1z2p3p4p5p1s2z3z复平面上的开环共轭零点或共轭极点，对实轴上的根轨迹上的点，相角贡献为零。19第四章根轨迹法自动控制原理法则4（根轨迹的渐近线）：当mn时，有nm条根轨迹沿nm条渐近线趋于无穷远处，这nm条渐近线交于实轴上一点，交点的坐标值为11nmjijiapznmnm条渐近线与实轴的夹角为(21)aknm式中，012k、、，取够nm个为止。ImRe0ImRe02p3p1z1p20第四章根轨迹法自动控制原理21第四章根轨迹法自动控制原理法则5（根轨迹的起角和终止角）：起始于开环极点jp处的根轨迹的起始角的计算公式为11180()()mnpjjijkikkjpzpp终止于开环零点iz处的根轨迹的终止角的计算公式为11180()()mnziikijkjkizzzpImRe0s1p2p3p4p1z22第四章根轨迹法自动控制原理起始于重极点1p、2p、、rp的r条根轨迹的初始角依次计算如下1~1111(21)180()()rmnpijijrrkpzpp式中0,1,,1kr。终止于重零点1z、2z、、sz的s条根轨迹的终止角依次计算如下1~1111(21)180()()smnzijisjskzzzp式中0,1,,1ks。ImRe1,2,3p1z606023第四章根轨迹法自动控制原理法则6（根轨迹分离点的坐标）：多条跟轨迹在复平面上相交又分开的点称为根轨迹的分离点，分离点表明系统闭环特征方程此时出现了重根。特征方程()1()()0FsGsHs出现重根的条件是，特征方程的解要同时满足()[()()]0dFsdGsHsdsds的解，其中在根轨迹上的为真正的分离点，不在根轨迹上的舍去。或者，将解s代入下式11()()njjmiispksz得到的k值为正实数的，则为真正的分离点，否则舍去。ImRe0ImRe024第四章根轨迹法自动控制原理从上面分离点满足的条件可以得到它的另外一种等价形式：1111nmjijispsz对于无开环零点的情况，认为开环零点在无穷远处，即取上式中的110miisz同样，对于无开环极点的情况，认为开环极点在无穷远处，即取上式中的110njjsp只在很特殊的情况下才出现复平面上的分离点。ImRe0ImRe025第四章根轨迹法自动控制原理进入某一分离点的根轨迹与离开的根轨迹总是相间分布的，任意相邻进入和离开分离点