第四章正规矩阵与矩阵的分解

第一节正规矩阵【Schur三角化定理】设nnA，则存在酉矩阵U，使*UAUB，其中B为一个上三角矩阵.【酉矩阵】n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基.1HHHnUUUUEUU性质：设有矩阵A，B，则（1）若A是酉矩阵，则1A也是酉矩阵；（2）若A，B是酉矩阵，则AB及BA也是酉矩阵；（3）若A是酉矩阵，则|det()|1A；（4）A是酉矩阵A的n个列向量是两两正交的单位向量.【定理4.1.1】矩阵A可以酉对角化**AAAA.*UAUT是上三角矩阵，*********()()AAUTUUTUUTUUTUUTTU*********()()AAUTUUTUUTUUTUUTTU，故****AAAATTTTA可以酉对角化，则酉矩阵U使*UAUD***************()()()()AAUDUUDUUDUUDUUDDUUDDUUDUUDUAA【定义4.1.1】设nnA，若**AAAA，则称A是正规矩阵.【引理4.1.1】设A为正规矩阵，若A又为三角矩阵，则A为对角矩阵.【定理4.1.2】设nnA，则A为正规矩阵A有n个两两正交的单位特征向量.【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.【定理4.1.3】设()ijnnAa是复矩阵，1，2，……，n为A的n个特征值，则（1）（Schur不等式）221,1||||nniijiija（2）A为正规矩阵221,1||||nniijiija（3）*2,,1tr()||nijijAAa【推论】设A为正规矩阵且幂零，则0A.【定义4.1.2】设a与b是实数，且0b，则称二阶实矩阵abba为一个Schur型.【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A是n阶实矩阵，则A是正规矩阵存在正交矩阵Q使得12TsQAQAAA其中每个iA或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur型.【推论4.1.2】设A是n阶实矩阵.（1）A是对称矩阵存在正交矩阵Q，使得TQAQ是对角矩阵；（2）A是反对称矩阵存在正交矩阵Q，使得120TsQAQAAA其中每个00iiibAb，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；（3）A是正交矩阵存在正交矩阵Q，使得12()TstsQAQIIAAA其中每个iA是二阶Givens旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1.设B是n阶复矩阵.（4）B是Hermite矩阵存在正交矩阵U，使得TUBU是实对角矩阵；（5）B是反Hermite矩阵存在正交矩阵U，使得TUBU是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；（6）B是酉矩阵存在酉矩阵U，使得TUBU是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；（7）Hermite矩阵A正定A的所有顺序主子式均大于0；【引理4.1.2】Hermite阵或实对称矩阵A在某一个k维子空间上正定A至少有k个特征值（包括重数）大于零.第二节正规矩阵的谱分解设A是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U使得*12(,,,)nUAUdiag.因而*12(,,,)nAUdiagU.令12(,,,)nU，则12*1*212****111222(,,,)nnnnnnA（4.2.1）由于12,,,n为A的特征值，12,,,n为A对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵A的谱分解或特征（值）分解。若把式（4.2.1）中系数相同的放在一起（0特征值对应的项去掉），然后把系数提出来，则公式（4.2.1）就变成1122ssAPPP，其中12,,,s为A的互不相同的非零特征值，由于***(),1,iiiiin**()()0,1,ijijijn*2*(),1,iiiiin所以*2,,0,1.iiiiijPPPPPPijs由幂等矩阵与投影变换的对应关系可知，iP是某正交投影变换（在某基下）的矩阵，故常称为正交投影矩阵。