第四章流体动力学.

第四章流体动力学分析基础§4.1系统与控制体§4.2一维流动的连续方程§4.3理想流体的欧拉方程和伯努里方程§4.4伯努里方程的应用§4.5动量定理§4.6角动量定理§4.7微分形式的守恒方程§4.8定常欧拉运动微分方程的积分求解§4.1系统与控制体一、系统系统是一团流体质点的集合。在运动过程中,始终包含着确定的流体质点。系统的表面常常在不断地变形。例如：气缸内壁与活塞包围的一团气体可视为一个系统。二、控制体控制体是指流场中某一个确定的空间区域，这个区域的周界称为控制体。控制体的形状根据流动情况和边界位置任意确定，相对于选定的坐标系固定不变。三、流体系统的物理量对时间的全导数1．全导数公式的推导令：N——t时刻系统内流体物理量的总量；η——单位质量流体的该物理量。t时刻：t+δt时刻：δt间隔内系统N的增量为2dVNt32dVdVNtt232dVdVdVNNttt变化率：左边取极限：变化率右边第一项取极限：表示控制体内部流体的某种物理量的时间变化率。在控制体不变的条件下，控制体内部流体所具有的某种物理量的时间变化率。t)dV(t)dV(t)dV()dVdV(tNN1tt3tt2t1tt2tttdtdNtNNttttlim0cvttttttttdVtdVttdVdVtdVdVdV)()(lim)()(lim22202120变化率右边第二项：表示δt内从控制体2内流出的流体质量。是单位时间内流出的该物理量的平均值，由下式决定：变化率右边第三项取极限：负号表示在流入条件下，与法向间的夹角大于90°。3dVtdV32)(lim30AtttAdVtdVcosdAVAdV2)(lim10AtttAdVtdVVA综合以上二式：表示流体某种物理量通过控制体表面的流量简称通量。全导数：csAAtttttAdVAdVAdVtdVtdV)()([lim12130cscvAdVdVtdtdN2．全导数公式的意义全导数：系统内物理量N随时间的变化率等于控制体内的N时间变化率加上经过控制面的N的净通量。全导数由两部分组成:(1)当地导数——控制体内物理量总量的时间变化率，相对于固定的控制体而言；(2)迁移导数——通过控制面的物理量的净值，相对于固定的控制面而言。物理量可以是标量，也可以是矢量。定常流动：定常流动，整个系统内部流体物理量的变化只与通过控制面的流动有关，不必知道系统内部流动的详情。csdAVdtdN)n(§4.2一维流动的连续性方程一、一维流动的连续性方程微元流管截面1：面积A1、密度ρ1、速度V1；截面2：面积A2、密度ρ2、速度V2。控制面：截面1、截面2、两者间的流管表面。质量守恒：按照式：now,N=m,η=1控制体内流体质量的变化和进出控制面的流体质量的总和为零。——一维流动的连续性方程。0dtdmcsncvdAVdVtdtdN0dAVdVtdtdmcsncv二、定常流动下的连续性方程定常流动侧面1．对微元流管，积分得：——定常流动，沿微元流管任意截面的质量流量都相等。2．对有限截面的流管，积分得：取流管有效截面上的平均速度——定常流动，通过有限截面流管中任意横截面的质量流量是常量。0cvdVt222111dAVdAV0nV21AnAndAVdAV222111AVAV§4.3理想流体一维流动的欧拉方程和伯努里方程一、欧拉方程取微元流管中的一圆柱流体微团，轴向长度:δs,端面面积:δA,端面⊥轴线，侧面∥轴线。流体微团受力分析：质量力:重力，ρgδAδs方向，垂直向下表面力：上游端面：pδA，与流动方向相同；下游端面：，与流动方向相反；侧面:方向垂直于轴线，对流动无影响(理想流体)。Asspp)(微团运动的切线加速度牛顿第二定律：化简得:,dtdVdtdVsAsAgAssppApcos)(01cosdtdVspgszszslimcos0sVVtVdtdV01sVVtVspszg——理想流体一维流动的运动微分方程（欧拉方程）。定常流动：则理想流体一维定常流动欧拉方程：,0tV0VdVdpgdz01sVVtVspszg二、伯努里方程１．伯努里方程沿流线积分，得：Ｃ是积分常数。对不可压缩流体，ρ＝常数，得：——伯努里方程（伯努里于1７３８年首先提出）。伯努里方程说明：理想不可压缩流体在重力场中作定常流动时，沿同一流线单位质量流体的位势能、压力势能和动能之和是常数。但是，沿不同的流线时这个积分常数一般是不同的。伯努里方程的应用条件：1）理想不可压缩流体在重力场中的定常流动。2）同一流线上的不同点。CVdpgz22CVpgz22２．总水头对单位重量流体，伯努里方程：各项均为长度量纲：位置水头、压力水头（二项之和为静水头）、速度水头（或称动压头）。三项之和称为总水头（Ｈ）。伯努里方程可表述为：不可压缩理想流体在重力场中定常流动时，沿流线单位重量流体的位置水头，压力水头与速度水头之和为常数。当流动在同一水平面内时HgVpz22CVp22三、沿流线主法线方向压力和速度的变化流体微团端面面积：δA柱体长：δrＭ点的曲率半径：r微团在流线主法线方向受力：质量力：重力在主法线方向分量ρgδrδAcosθ表面力：端面压力-pδA和(p+δp)δA微团法线方向的加速度：V2/r牛顿第二定律：因为代入化简得：,cosrz)a()pz(rgrV2rVArcosgArApA)pp(2另一方面，在伯努里常数在整个流场中保持同一数值的条件下，伯努里常数沿r方向不变，因此，它对r的导数等于零，由(a)(b)两式得：积分得：0)2(2gVpzr)b()(rVgVpzr0rVrVrCV１．弯曲流线主法线方向上的速度和压力分布弯曲流线主法线方向上，速度随与曲率中心距离的减小而增加。所以弯曲管道中，内侧速度高，外侧速度低。如果流线位于水平面内，则由(a)式得：在弯曲流线主法线方向上，压力随与曲率中心距离的增加而增加．所以弯曲管道中，内侧流体压力小，外侧流体压力大。0rzrVrp212212rCCp２．直线流动中垂直于流线方向的压力分布直线流动，r→∞，对于水平面内的流动，z1=z2，则p1=p2∴水平面内的直线流动，沿流线法向的压力梯度为零(无压力差)。0)(zpr2211zpzp四、非定常流动的伯努里方程非定常流动设ρ＝常数，则欧拉运动微分方程成为：沿流线积分：设１，２是流线上的两点，则有,0tV01sVVtVspszg0)2(2tVVpgzs21212222222221110222202111ssssdstVVpgzVpgzdstVVpgzdstVVpgz或CdstVVpgzs022五、运动坐标系中的伯努里方程aa′为相对流动的流线,切线方向单位矢量。流体微团切向相对加速度为法向相对加速度牵连加速度哥氏加速度::,dtdVr,2nRVr,2r,2rr流体微团的绝对加速度在切线方向的分量应是相对加速度、牵连加速度、哥氏加速度在切线方向的投影之和。:dtdVcoscos22rsVVtVrdtdVdtdVrrrr∵∴运动坐标系中的伯努里方程为当相对运动是定常的一维流动时：沿流线积分：srcos0srrsVVtVsp1szg2rrr02drrdVVdpgdzrr022222rVdpgzr§4.5伯努里方程的应用一、皮托管（Pitotpipe）皮托管测流速原理是伯努里方程。１．测量河水流速弯成直角的玻璃管两端开口，一端面向来流，一端垂直向上。管内液面高出河面h，水中的Ａ端距离水面Ｈ0。Ａ端形成一驻点，驻点处的压力即总压。PA=γ（H0+h），VA＝０。在Ａ点上游找一未受测管影响且与Ａ点位于同一水平线的Ｂ点(pB=γH0)流速VB。由伯努里方程：∴测总压的管子称为皮托管。BBAPgVP20002ghppgVBAB2)(2２.测量封闭管道内流体的流速直角静压管外形同皮托管相仿，只是开口不在直角弯管的迎流端，而是在迎流端之后的适当距离沿圆周开测孔，以测流体静压。封闭管道内的流体流速可用静压管和皮托管组合起来的皮托——静压管或动压管测量。静压管包围着皮托管，在驻点后适当距离的外壁上沿圆周钻几个小孔（称静压孔）。将静压孔的通路和皮托管的通路分别连接于差压计两端，差压计给出总压与静压的差值，从而求出测点的流速。二、文特里管（Venturipipe）文特里管由收缩段和扩散段所组成，两段结合处称喉部，可测管道中的流量。测量文特里管入口前直管段截面1和喉部截面2两处静压差，截面1和2上的平均流速和截面积分别为V1、A1、V2、A2，由伯努里方程连续方程：截面2的流速：gVpgVp222222112121VAAV])(1[)(2212212AAppgV通过文特里管的体积流量：实际应用中，考虑粘性引起的截面上速度分布的不均匀以及流动中的能量损失，还应乘上修正系数β，即β文特里管的流量系数，由试验测定。若用U形差压计：p1-p2=h(γ′-γ)γ是被测流体的重度，γ′是U形管中液体的重度])(1[)(2212212AAppgAQ])(1[)(2212212AAppgAQ])(1[)(22122AAgAQ§4.6动量方程动量方程适用于求解流体与固体的相互作用问题。一、定常流动的动量方程的建立欧拉方程基于对流体微团的分析，是质点动量定律的微分表达式。动量方程基于对流体系统的分析，是质点系动量定律在定常流动条件下的积分表达式。研究一个流体系统,取初始瞬间系统的边界为控制面。质点系动量定理：系统内的流体动量对时间的导数等于作用在系统上的外力的矢量和，即：FdVVdtdcv全导数公式：本问题中∴∴在定常流动条件下定常流动的动量方程csncvdAVdVtdtdNVdVVNcv,csncvcvdAVVdVVtdVVdtdcsxnFdAVuycsnFdAVvcsznFdAVwFdAVVcsn二、一段流管上定常流动的动量方程取一根流管的壁面和有效截面为控制面,设有效截面上为均匀流动，是加在系统上外力的总和,流管上的动量方程为：根据连续性方程上式为：FxFuVAuVA11112222yFvVAvVA11112222QVAVA111222xFuuQ)(12yFvvQ)(12zFwwQ)(12zFwVAwVA11112222三、动量方程应用时的注意点：(1)动量方程是矢量方程，应用投影方程比较方便。(2)定常流动的动量方程只涉及控制面上的参数，而不必考虑控制体内部的流动状态。(3)适当地选择控制面.(4)完整地表达出作用在控制体和控制面上的外力，注意流动方向的投影和正负。例：如图，求喷嘴对管子的作用力，忽略摩擦损失，流体是油，