第四章误差分布与平差参数的假设检验(讲稿).

第四章误差分布与平差参数的统计假设检验经典的平差数学模型，在最小二乘原则下进行平差计算时，得到的平差值和参数估值均是最优无偏估计量，但必须有下列情况成立：其一是假定观测值中只含有偶然误差（又称为随机误差），或者说偶然误差是观测误差的主要成分，其它类型的误差很小，与偶然误差相比，可以忽略不计，因此，可视观测值为服从正态分布的随机变量，也就是说，其数学期望等于真值，即（或说观测误差是服从正态分布的随机变量，其数学期望为零，即）；LLE~)(0)(E其二是在平差前确定观测值的权时，假定母体的方差为已知，用式或用基于上式的导出式计算（例如，在水准测量中，用式或）。如果上述两个条件不能成立，则最小二乘平差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。因此，必须对上述假定或者说对误差分布与平差参数的正确性进行检验。20220iiPiiSCPiiNCP由于采用的检验方法在数学上是数理统计学的内容，故本章阐述误差分布与平差参数的统计假设检验方法。§4-1概述一、统计假设检验的基本概念统计假设：在母体的未知分布上所作的某种假设称为统计假设（习惯上将原假设记为；备选假设记为）。统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设；非参数假设就是对母体分布函数所作的假设。0H1H母体的数学期望是否等于已知数值的数学期望？母体的方差是否等于已知数值的方差？两个母体的数学期望与方差是否相等？检验母体是否服从正态分布？二、进行统计假设检验的思想如果从正态母体，，抽取n个样本2σN2（，）123n（x,x,x,...,x）设母体的方差已知122211E)()1()niiniExnDnn(xx2(,)xNn上述问题用数理统计的语言来说就是：如果在给定的小概率a能使下式成立，0221/xPpn（其中k为某一适当的常数）时，接受假设。（其中取一个较小的值，如0.01，0.05等）。时，拒绝假设；kxP00H10kxP0H0(0,1)/xuNn问题：母体均值是否等于某一数值原假设：H0备选假设：H1𝜇0𝜇0uu0uu三、接受域和拒绝域接受域：接受假设的区域称为检验的接受域。例如上面的例子，当根据子样算术平均值满足的时候（或）,我们接受假设，也就是说计算的结果落在了（或）区间之内，通常把区间（或）称之为接受域。0H0x),(kk0H),(kk),(k10kxPkxP0),(k拒绝域拒绝接受假设的区域称为检验的拒绝域。例如上面的例子，如果计算的结果落在了区间之外，这就表示概率很小(p=a)的事件居然发生了。根据小概率事件在一次实验中实际上不可能出现的原理，就有足够的理由否定原来所作的假设，通常把区间（或）以外的区域称之为拒绝域。如下图所示0H0x),(kk),(kk),(k0H四、两类错误由假设检验的思想可知，假设检验是以小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前提为依据的。但是，小概率事件虽然其出现的概率很小，但这并不是说这种事件就完全不可能发生。事实上，如果我们重复抽取容量为n的许多组子样，由于抽样的随机性，子样均值不可能完全相同，因而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验的显著水平定为，那么，即使原假设是正确的(真的)，其中仍约有5%的数值将会落入拒绝域中。05.0a0H第一类错误当为真(正确)而遭到拒绝的错误称为犯第一类错误，也称为弃真的错误，如图3-2。犯第一类错误的概率就是a。0H第二类错误同样地，当为不真(不正确)时，我们也有可能接受，这种错误称为犯第二类错误，或称为纳伪的错误，如图。犯第二类错误的概率为。0H0H五、进行统计假设检验的步骤概括起来说，进行假设检验的步骤是：1．根据实际需要提出原假设和备选假设；2．选取适当的显著水平a；3．确定检验用的统计量，其分布应是已知的；4．根据选取的显著水平a，求出拒绝域的界限值，如被检验的数值落入拒绝域，则拒绝(接受)。否则，接受(拒绝)。1H0H1H1H0H0H§4-2常用的参数假设检验方法一、u检验法由于正态分布是母体中最常见的分布，所抽取的子样也服从正态分布，由此类子样构成的统计量是进行假设检验时最常用的统计量，以下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。1．u检验法的概念设母体服从正态分布，母体方差为已知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求得子样均值，利用子样均值对母体均值u进行假设检验，则可用统计量，其分布为标准正态分布。即)(2，N2xxnxu)1,0(Nnxu～将这种服从标准正态分布的统计量称为u变量，利用统计量所进行的检验方法称为u检验法。2．u检验法的类型根据检验问题的不同，利用u检验法对母体均值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。（1）双尾检验法。假设：000::１；HH即0222221αααααxμPzzPzuzσnPuzα或1202nzxnzP或写成10kxP式中，为标准正态分布的百分位点。nzk22z当或时，接受，拒绝；反之，拒绝，接受；2zukx00H１H0H１H22P=1-α接收域拒绝域（2）左尾检验法假设：000::１；HH即zuPznxP0或写成kxP0式中，nzk当或时，拒绝，接受；反之，接受，拒绝；zukx)(00H１H0H１H（3）右尾检验法假设：000::HμμHμμ１；即zuPznxP0或写成kxP0式中nzk当或时，拒绝，接受；反之，接受，拒绝；zukx)(00H１H0H１H例[4-1]已知基线长，认为无误差。为了鉴定光电测距仪，用该仪器对该基线施测了34个测回，得平均值，已知,问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差（取）。mL219.50800mx253.5080m08.0005.00解：（1）（2）当成立时，计算统计量值mLH219.5080:000H48.23408.0219.5080253.50800nLx（3）查得96.1025.02因为，故拒绝，即认为在的显著水平下，该仪器测量的长度存在系统误差。96.148.220H05.00u检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以在两个正态母体方差已知的条件下，对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。2221、设两个正态随机变量和，从两母体中独立抽取的两组子样为和。子样均值分别为和，则两个均值之差构成的统计量也是正态随即变量，即)(~211、NX)(~222、NY1,,,21nxxx2,,,21nyyyxy),(~)(22122121nnNyx标准化得)1,0(~)()(22122121Nnnyx如果两母体方差相等，设为则上式为2221)1,0(~11)()(2121Nnnyx。问二人观测结果的差异是否显著（取）？,乙观测了10个测回，得平均值例[4-2]根据两个测量技术员用某种经纬仪观测水平角的长期观测资料统计，观测服从正态分布，一个测回中误差均为。现两人对同一角度进行观测，甲观测了14个测回，得平均值26.0005.30234x42.30234y05.00解：（1）；（2）当成立时，统计量值计算210:H211:H01.110114162.042.3023405.30234)()()(22122212212121nnyxnnyx（3）查得96.1025.02因为，故接受，即认为在的显著水平下，二人观测的结果无显著差异。96.101.120H05.00在实际测量工作中，真正的经常是未知的，一般是利用实测结果计算的估值代替，数理统计中已说明，这种代替，当子样容量n200，则可认为是严密的，当一般n30，用代进行u检验则认为是近似可用的。当母体方差未知，检验问题又是小子样时，u检验法便不能应用。须用以下的t检验法对母体均值进行u检验。)(ˆm二、t检验法1．t检验法的概念设母体服从正态分布，母体方差未知。从母体中随机抽取容量为n的子样，可求得子样均值和子样中误差，利用子样均值和子样中误差对母体均值u进行假设检验，则可利用统计量，但统计量已不服从正态分布，而是服从自由度为n-1的t分布。即)(2，N2)(ˆm)(ˆmnxtˆxx)1(ˆntnxt～用统计量t检验正态母体数学期望的方法，称为t检验法。2．t检验法的类型根据检验问题的不同，利用t检验法对母体均值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。（1）双尾检验法假设：000::１；HH即1)1()1()1(ˆ)1(22202nttntPntnxntP或1ˆ)1(ˆ)1(202nntxnntP或写成10kxP式中,ˆ)1(2nntk当或时，接受，拒绝；反之，拒绝，接受；2ztkx00H0H１H１H（2）左尾检验法假设：000::１；HH即)1()1(ˆ0nttPntnxP或写成kxP)(0式中，为t分布的上百分位点。nntkˆ)1()1(nt当或时，拒绝，接受；反之，接受，拒绝；)1(ntukx)(00H１H0H１H（3）右尾检验法假设：000::１；HH即)1()1(ˆ0nttPntnxP或写成kxP)(0式中nntkˆ)1(当或时，拒绝，接受；反之，接受，拒绝；)1(nttkx)(00H0H１H１H例[4-3]为了测定经纬仪视距常数是否正确，设置了一条基线，其长为100m，与视距精度相比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长度为：100.3，99.5，99.7，100.2，100.4，100.099.8，99.4，99.9，99.7，100.3，100.2试检验该仪器视距常数是否正确。解：12n95.99)2.1003.1007.999.994.998.990.1004.1002.1007.995.993.100(1211121iixnx37.01)(ˆ12nxxnii46.01237.010096.99ˆnxt,现，接受，可认为在100m左右范围内，视距常数正确。假设100:100:0１；HH选定05.0a以自由度，，查t分布表得111n05.02.22t2tt0H同样，t检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。,设为。,未知，但已知设两个正态随机变量和)(~211、NX)(~222、NY2221、222122221从两母体中独立抽取的两组子样为和。子样均值分别为和，子样方差分别为，则两个均值之差构成如下服