第四章金融资产定价理论

第四章金融资产定价理论本章概述金融资产视为未来不确定现金流的载体，因此金融工程的核心是资产定价，资产定价理论可以分为绝对定价和相对定价两种思路。绝对定价的思路是在效用上寻找与不确定现金流无差异的确定性现金流，本章在学习期望效用的基础上，给出了绝对定价的基本框架。而相对定价的思路则是给出金融资产相互之间价格的关系。在无套利均衡意义下，绝对定价和相对定价可以统一在一起。进一步，本章还讨论了在动态环境下的金融市场，初步介绍了如何将两期环境的金融问题扩展到动态环境。第一节定价的一般框架与绝对定价1.1效用与定价一、期望效用未来有N种状态，金融资产L未来的不确定现金流及其相应的客观发生概率为：。则该金融资产带来的效用可用期望形式表达为：其中为vonNeumann-Morgenstern效用函数。一般的，我们假设具有单调递增的性质，也即对待财富是一种“多多益善”的态度。二、确定性等值与价格如果存在某个确定性的现金流W使得其带来的效用与金融资产L的期望效用相等，即，则称W为L的确定性等值。如果考虑效用在时间上的贴现，则确定性等值就是当前为了得到未来的不确定现金流而支付的价格，也即其中为效用的贴现率。1.2风险溢价一、对待风险的态度与效用函数凹性面对一个不确定性现金流，投资者如果更加偏好其期望值，也即投资者接受公平赌博的结果，那么称其为风险规避的，也即，其中。在图4-1中，我们以为例，可以看出，效用函数为凹函数时，投资者是风险规避的。此外，如果，则称其为严格风险规避，对应效用函数为严格凹函数；如果，则称其为风险喜好，对应效用函数为凸函数；如果，则称其为风险中性，对应效用函数为仿射函数，即。图4-1函数的凹性和对待风险的态度二、风险溢价风险溢价就是金融资产未来现金流的期望值减去其确定性等值，用以补偿投资者承担风险应该得到的回报，也即：。对于单调上升的vN-M函数：当时，称为风险规避；当时，称为风险中性；当时，称为风险喜好。如果考虑效用在时间上的贴现，。记的净收益率为，或者分解为。其中为无风险收益率，与的凹性和效用的贴现率有关；有时我们也把称为风险溢价。根据以上关系可以得到，1.3绝对定价一、定价的一般公式金融资产未来的现金流分成T期支付，如图4-2所示。图4-2在效用具有时间上的加法可分性的条件下，根据上式，对第i期（i=1~T）现金流的定价为：其中，表示第i期现金流大小，表示第i期现金流的不确定性因素；表示几何平均方式年化以后的i期的无风险收益率，具体含义在第五章利率理论部分详细介绍；表示第i期的不确定现金流对应的年化以后的风险溢价。另一方面，第i期的不确定现金流可以采取迭代贴现的方式，也即按照的收益率折现到第i-1期，再按照的收益率折现到第i-2期，依次类推一直到当前，也即：对于当前来说，未来各期的和都是未知的，受到金融市场未来新到达的信息影响，因此都是随机的。详细分析见本章第三节。金融资产的价格为各期现金流当前价格的叠加，也即：二、债券定价、股票定价和衍生品定价在金融学、金融市场学、投资学等课程中，我们学习过债券定价模型和股票定价模型。这些模型都可以统一到这个绝对定价框架下。对于主权债，比如国债，为常数，即票面值和息票率的乘积，还加上票面值，但是没有违约风险，因此=1。故国债要求的风险溢价=0。对于非主权债，比如企业债和市政债券等，存在违约风险，因此，故企业债需要有一定的风险溢价，称为信用价差。对于股票，不确定性因素更多。首先终期T是不确定的，现金流支付时间也是不确定的，以及影响现金流支付数量的因素也是不确定的，等等。因此股票要求有风险溢价，资本资产定价模型（CAPM）就是给这个风险溢价进行定价的理论。由于影响股票未来现金流的不确定性因素太多太复杂，一般我们采取比较简单的定价模型，就是公司财务中学过的股利贴现模型（DividendDiscountModel,DDM）。对于衍生品定价，由于衍生品的现金流通常可以由基础金融资产复制出来，因此更多的采取相对定价方法。但是同样也可以类比其绝对定价模型。第二节无套利均衡与相对定价2.1套利机会与无套利定价法则一、套利机会与一价法则市场有三种金融资产，未来可能出现两种状态，收益矩阵如下45-2587三种金融资产的价格向量为：[1,5,3]，这个市场的价格体系是否合理？构建三种金融资产的头寸为[a1,a2,a3]使得未来现金流为0，也即解得，而该头寸当前的现金流为可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流为0，而当前现金流不为0，这是一种套利机会。投资者可以持有51单位资产一的多头，38单位资产二的空头，和7单位资产三的多头，即可以得到当前118元的获利。金融市场要实现无套利机会，未来现金流相同的金融资产组合必须有相同的价格，或者未来现金流为0的组合，当前现金流必须为0。这就是一价法则，又称为线性定价法则，是金融工程等价复制原理的核心。对于一价法则，我们需要从三个层次来理解：第一，考虑跨市场交易成本后，同种资产在不同市场必须同价；第二，齐次性，即没有规模经济或规模不经济，批发价和零售价相同；第三，加法可分性，即没有范围经济或范围不经济，没有上市公司的收购或兼并。二、套利机会与正定价法则同上例，三种金融资产的价格向量为：[1,5,139/7]，价格体系合理吗？同样，构建三种金融资产的头寸为[a1,a2,a3]使得未来现金流为0，该组合当前现金流为，也即第三种金融资产可以由前两种复制，故可剔除，只考虑前两种资产的价格体系。构建两种金融资产的头寸为[a1,a2]使得未来第一种状态下现金流为1，第二种状态下现金流为0，也即解得，由线性定价法则知道，该头寸当前的现金流为可见，存在着某种金融资产组合使得未来现金流大于等于0，而当前现金流也大于等于0，这是一种套利机会。投资者可以持有8/7单位资产一的多头，5/7单位资产二的空头，即可以得到当前17/7元以及未来在状态一情况下1元的获利。金融市场要实现无套利机会，未来现金流大于0的金融资产组合，其当前现金流必须小于0，这就是正定价法则。正定价法则表明，金融市场无套利均衡下，内在价值相对高（表现为未来各种状态的现金流）的金融资产应该有相对高的价格。金融资产就是一种当前现金流净流出和未来现金流净流入之间的平衡关系，在正定价法则中也得以体现。这个平衡关系怎么确定，就由绝对定价方法中的效用等价来决定，依赖于效用函数的凹性和效用的贴现。三、无套利定价与期权二叉树定价我们可以通过期权二叉树定价来理解无套利均衡的思想和方法。在下例中，股票和期权未来现金流有两种状态，分别是上涨u和下跌d。期权未来现金流用随机变量表示，当前价格为C，股票未来现金流用随机变量表示，当前价格为S。假设1单位的期权多头，可以用h单位的股票空头对冲风险。根据一价法则，无套利均衡条件为：未来上涨和下跌两种状态，期权和股票组合风险实现对冲，因此有由两式可解得，代入（2）得，假如期权下期行权，其未来现金流为：此为期权定价的边界条件。令，代入（2）得，进一步的，我们可以对进行讨论。第一，如果，q≤0，出现了套利机会，因为股票未来收益最差的情况都比无风险收益好，因此可以大量借钱投资股票，并且股票上的风险用期权空头对冲；第二，，1-q≤0，也出现了套利机会，因为股票未来收益最好的情况都比无风险收益差，因此可以卖空股票投资于无风险资产，并且股票上的风险用期权多头对冲。从上可见，市场要实现无套利均衡，必须有，使得q0，并且1-q0。q与这样的资产组合的价格有关，及上涨情况下得到1单位现金流，下跌情况下得到0；1-q则与上涨情况下得到0单位现金流，下跌情况下得到1的资产组合的价格有关。2.2状态价格定价与风险中性定价一、状态价格与定价状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格，这种资产学术上称为Arrow-Debru证券。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。考虑二叉树情况下，基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是πu，基本证券2的价格是πd，分别被称为上升状态的价格和下降状态的价格。根据无套利原理，复制品和被复制对象现在的市场价格应该相等：P=uPπu+dPπd即uπu+dπd=1。基本证券的组合是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r,于是便有：联立方程可解得：，从中可以看出，πu和πd分别对应前面提到的q和1-q。二、资产定价第一基本定理有限状态情况下，金融市场无套利机会的充分必要条件是，存在一组正的状态价格：[π1,π2,…,πN]，使得对于任何金融资产：[P1,P2,…,PN]，其当前价格P可以表达为：注意到：资产定价第一基本定理可以向无穷状态情况的扩展，只需要对无套利均衡的定义做一些数学上的修正。三、风险中性概率与定价在对未来现金流定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。这就是风险中性定价原理。由于在市场无套利均衡下，状态价格大于0，因此可以由状态价格定义风险中性概率为：进一步由资产定价基本定理可以得到金融资产的风险中性定价方法：其中表示在风险中性概率下求期望。风险中性概率可以理解为一种主观概率，是各种状态的客观概率经过投资者边际效用替代率调整以后得到的概率。因此风险中性概率的分布受到投资者效用函数的影响，在这里第一节的绝对定价思想和相对定价思想统一为一体。第三节动态金融市场中的信息、套利与市场有效性3.1金融变量跨时演变的数学模型简介一、金融中的随机过程随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。根据时间和变量，随机过程可以分为时间连续变量连续型随机过程、时间连续变量离散型随机过程、时间离散变量连续型随机过程、时间离散变量离散型随机过程。金融中的随机过程是一种马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）。在马氏过程中，只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。如果金融变量遵循马尔可夫过程，则其未来值的概率分布只取决于该变量现在的值，且具有某些时序特征。一般用布朗运动或者维纳过程描述。设Δt代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在时间内的变化，则标准维纳过程是标准正态分布在时间上的演进，满足以下两个特征：特征一：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立。特征二：Δz和Δt的关系满足：。当Δt—0时，就可以得到极限的标准维纳过程：标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1。漂移率（DriftRate）是指单位时间内变量z均值的变化值。方差率（VarianceRate）是指单位时间的方差。方差率也称为扩散率（DiffusionRate），反映变量的波动性。如果我们令漂移率的期望值为a，方差率的期望值为b^2，就可得到变量x的普通布朗运动：。二、Ito过程与Ito引理普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，可以得到伊藤过程（ItoProcess）：Ito过程是非常重要的随机过程，在金融中有广泛的应用。若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G(x,t)将遵循如下过程：这个结论称为Ito引理，是衍生产品定价的基础。三、金融变量的分类在统计学中，我们学习过各种经济变量的分类。在金融中，我们对金融变量的分类也类似与统计学中，但是又要反映金融的特点。一种分类思路是将金融变量分为：指标变量和比率变量。对于指标变量，比如价格、货币供应量等；对于比率变量，比如利率、通胀率、收益率、就业率等。此外，对金融变量的还有另一种分类思路，即分为时点量（存量）和时期量。对于时点量，比如货币供应量等；对于时期量（增量），比如证券交易量。通常情况下，时点量是某个时期量在