第四节势能

§2.4势能一、保守力与非保守力功是过程量，一般而言与路径有关。但有些力做功与路径无关，按照力做功的特点，可把力分为保守力与非保守力。1保守力：做功仅与始、末位置有关，而与路径无关的力。即对于保守力有①若绕闭合路径L保守力做功必然为零，因为系统的始末状态相同。②上两式均为保守力的定义。可见，要求保守力做功，可以选取最方便的路径进行积分。2几种保守力的功①地球附近的重力的功质量为m的物体在重力场中由h0点移到h点，重力所做的功为00cosDBDBrDBrrrhhAdAmgdrmgdrmgdhmghmgh12CCBLBLAFdrFdr0LFdr22112110BCCcLBLBLCBCCBLcLBLBLFdrFdrFdrFdrFdrFdrFdr②弹力的功022011()22DxCxAFdrkxdxkxkx③平方反比力的功万有引力122mmFGr和电荷间的库仑力122014qqFr都称为平方反比力，可写成2rkFer对于万有引力12kGmm、库仑力1204qqk，平方反比力的功为0220DDrrCcrkedrAFdrdrkrrkkrr这些力所做的功与路径无关，是保守力。二、势能这些力所做的功均可表示为某个函数的末态量与初态量之差的负值，称这个函数为势能函数或简称为势能。保守力做功与势能的关系式用PE表示末状态的势能，用0PE表示初状态的势能，则保守力做功可写为00rPPrFdrEE1）保守力做功在量值上等于系统势能的减少。而根据动能定理，保守力做功将使系统的动能增大，即保守力做功是使系统的势能转化为等值的动能。2）势能属于相互作用的系统所有，即势能储存于传递物体间相互作用的场中，而不属于某个质点所有。势能之差是个绝对量，于参考系的选取无关。若取某个点0P为计算势能的参考点，即选取00PE，则任意一点的势能值PE为3）势能曲线势能随物体间相对位置变化的曲线。重力势能PEmgh势能零点h=0弹性势能212PEkx势能零点x=0平方反比势能PkEr势能零点r=∞双原子分子势能曲线r=r0是势能曲线的极值点，对应保守力为零，在其它区域保守力均指向r0，系统的总能量E=Ek+Ep＜0。00PPPPPEFdrFdr把势能曲线的下凹部分称为势阱，上凸部分称为势垒。当分子总能量E小于势阱深度时，分子只能在势阱中运动；当分子总能量E大于势阱深度而小于一边势垒高度时，分子就不能穿过势垒，只能在势垒的一侧运动；在微观世界里，粒子可以以一对的概率穿过势垒，称为隧道效应。三、由势能函数求相应的保守力设系统内两物体沿其连线运动，在物体间保守力F作用下彼此间的距离增大dr，F的方向沿连线方向，由00rPPrFdrEE由PFdrFdrdE则PdEFdr保守力的大小等于势能曲线在该点的斜率的负值，其方向沿着势能减小的方向。上式对应于一维空间，在三维空间中上式可一般地推广为PPPEEEFijkxyz引入梯度算符grad，在直角坐标系中gradijkxyz则有PPFgradEE一个标量的梯度势一个矢量，它的方向沿该标量空间增加率最大的方向，它的数值就等于这个最大变化率。四、非保守力的功非保守力做功与路径有关，势能的概念就失去了意义。质量为m的物体，在粗糙的水平面上从C点移到D点，动摩擦因数为，则摩擦力所做的功为非保守力的功显然与路径的长度有关，CD间路径最短。iiAFdsmgL